Cohomologie d'Alexander-Spanier

En mathématiques et plus particulièrement en topologie algébrique, la cohomologie d'Alexander-Spanier est une théorie cohomologique pour les espaces topologiques.

Histoire

Elle a d'abord été introduite par James Waddell Alexander II en 1935 pour le cas particulier des espaces métriques compacts, puis étendue par Edwin Spanier en 1948 à tous les espaces topologiques, sur une suggestion de A. D. Wallace.

Définition

Si X est un espace topologique et G un groupe abélien, alors on définit un complexe différentiel C dont le p-ième terme C^p est l'ensemble de toutes les fonctions de X^p+1 dans G et de différentielle d donnée par :

df(x_{0},\ldots ,x_{p})=\sum _{i}(-1)^{i}f(x_{0},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{p}).

On note C₀ le sous-complexe formé des fonctions qui s'annulent sur un voisinage de la diagonale.

On définit les groupes de cohomologie d'Alexander-Spanier H^p(X, G) comme étant les groupes de cohomologie du complexe C/C₀.

Variantes

Il est aussi possible de définir l'homologie d'Alexander-Spanier (William Massey, 1978) et la cohomologie à support compact d'Alexander-Spanier (Glen Bredon (en), 1997).

Lien avec les autres théories cohomologiques

La cohomologie d'Alexander-Spanier coïncide avec la cohomologie de Čech pour les espaces compacts et avec la cohomologie singulière pour les complexes localement finis.

Notes et références

(en) J. W. Alexander, On the Chains of a Complex and Their Duals, vol. 21, National Academy of Sciences (n^o 8), 1935, 509–511 p. (ISSN 0027-8424, DOI 10.1073/pnas.21.8.509, JSTOR 86360)
(en) Glen E. Bredon, Sheaf theory, vol. 170, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1997, 2nd éd., 504 p. (ISBN 978-0-387-94905-5, Math Reviews 1481706, lire en ligne)
(en) William S. Massey, How to give an exposition of the Čech-Alexander-Spanier type homology theory, vol. 85, coll. « The American Mathematical Monthly » (n^o 2), 1978, 75–83 p. (ISSN 0002-9890, JSTOR 2321782, Math Reviews 0488017)
(en) William S. Massey, Homology and cohomology theory. An approach based on Alexander-Spanier cochains., vol. 46, New York, Marcel Dekker Inc., coll. « Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics », 1978, 412 p. (ISBN 978-0-8247-6662-7, Math Reviews 0488016)
(en) Edwin H. Spanier, Cohomology theory for general spaces, vol. 49, coll. « Annals of Mathematics. Second Series », 1948, 407–427 p. (ISSN 0003-486X, JSTOR 1969289, Math Reviews 0024621)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Alexander–Spanier cohomology » (voir la liste des auteurs).

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