Complément d'un nœud

Plus précisément, dans une 3-variété M, si K est un nœud et N un voisinage tubulaire de K alors le complément X_K de K est le complémentaire de l'intérieur de N :

${\displaystyle X_{K}=M\setminus {\text{int}}(N).}$

La variété M considérée est le plus souvent (parfois même implicitement) la 3-sphère et K est supposé non sauvage (en).

On définit de même le complément d'un entrelacs.

• Avec la définition ci-dessus, N est un tore plein, X_K est une 3-variété (compacte si M l'est), et leur frontière commune est un 2-tore.
• Le théorème de Gordon-Luecke (en)[1] assure que le complément d'un nœud est un invariant de nœuds complet : deux nœuds dont les compléments sont homéomorphes sont transformés l'un de l'autre par un homéomorphisme de S³. Si cet homéomorphisme préserve l'orientation, alors il est isotope à l'identité donc les deux nœuds sont équivalents.
• Le groupe fondamental de ce complément, appelé groupe du nœud (en), est donc aussi un invariant, mais non complet[2].

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