3-sphère

Le volume tridimensionnel (encore appelé hyperaire) de la 3-sphère de rayon r est : ${\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}\,}$ alors que l'hypervolume (le volume de la région 4-dimensionnelle borné par la 3-sphère) est : ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}r^{4}.}$ Chaque intersection non vide d'une 3-sphère avec un hyperplan (tridimensionnel) est une 2-sphère, sauf si l'hyperplan est tangent à la 3-sphère, auquel cas l'intersection est réduite à un point. En déplaçant une 3-sphère à travers un hyperplan fixé, l'intersection est d'abord un point, puis devient une 2-sphère de rayon croissant jusqu'à atteindre le rayon de la 3-sphère lorsque l'hyperplan passe par son centre, et décroit à nouveau pour se réduire à un point quand la 3-sphère quitte l'hyperplan.

La 3-sphère est une 3-variété, compacte, connexe, sans bord. Cette variété est également simplement connexe, ce qui (de façon informelle) signifie que tout chemin fermé (ou boucle) sur la 3-sphère peut être continument contracté en un point sans quitter la 3-sphère. La conjecture de Poincaré, démontrée en 2003 par Grigori Perelman, affirme que la 3-sphère est la seule variété (topologique) à trois dimensions possédant ces propriétés (à homéomorphisme près).

La 3-sphère est homéomorphe au compactifié d'Alexandrov de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Plus généralement, on dit qu'un espace topologique homéomorphe à la 3-sphère est une 3-sphère topologique. Les groupes d'homologie de la 3-sphère sont les suivants : H₀(S³,Z) et H₃(S³,Z) sont isomorphes à Z, tandis que H_i(S³,Z) = {0} pour tous les autres indices i. Tout espace topologique ayant ces groupes d'homologie est appelé une 3-sphère d'homologie. Initialement, Poincaré avait conjecturé que toutes les 3-sphères d'homologie étaient homéomorphes à S³, mais il réussit ensuite lui-même à construire un contre-exemple, à présent connu sous le nom de sphère d'homologie de Poincaré (ce qui montre que la conjecture de Poincaré ne peut être formulée en termes d'homologie seule). On sait désormais qu'il existe une infinité de sphères d'homologie. Par exemple, un comblement de Dehn (en) de pente 1/n de n'importe quel nœud de la 3-sphère est une sphère d'homologie, non homéomorphe à la 3-sphère en général. En ce qui concerne les groupes d'homotopie, on a π₁(S³) = π₂(S³) = {0} et π₃(S³) isomorphe à Z. Les groupes d'indice supérieur (k ≥ 4) sont tous abéliens et finis, mais ne semblent pas suivre de schéma régulier[1].

La 3-sphère est dotée naturellement d'une structure de variété différentielle ; c'est d'ailleurs en fait une sous-variété compacte de R⁴. La métrique euclidienne de R⁴ induit sur la 3-sphère une métrique lui donnant une structure de variété riemannienne. Comme pour toutes les sphères, la 3-sphère a une courbure constante positive c égale à 1/r², où r est le rayon. La plupart des propriétés géométriques intéressantes de la 3-sphère viennent de ce qu'elle possède une structure naturelle de groupe de Lie[2], qui lui est donnée par la multiplication des quaternions (voir la section suivante sur la structure de groupe). Contrairement à la 2-sphère, on peut construire sur la 3-sphère des champs de vecteurs ne s'annulant nulle part (il s'agit plus précisément de sections du fibré tangent). On peut même construire trois tels champs qui soient linéairement indépendants(et même orthogonaux en chaque point), formant ainsi une base pour l'algèbre de Lie de la 3-sphère[3]. Cela implique que la 3-sphère est parallélisable. Il en résulte également que le fibré tangent de la 3-sphère est trivial.

Il existe une action intéressante du groupe du cercle, T, sur S³, donnant à la 3-sphère une structure de fibré en cercles (en), connue sous le nom de fibration de Hopf. En considérant S³ comme un sous-ensemble de C², l'action est donnée par :

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {T} }$.

L'espace des orbites de cette action est homéomorphe à la 2-sphère S². Comme S³ n'est pas homéomorphe à S²×S¹, la fibration de Hopf est non-triviale.

La 3-sphère peut être topologiquement construite en « collant entre elles » les frontières de deux boules de R³ (ces frontières sont des 2-sphères). On peut mieux se représenter le processus en visualisant la quatrième dimension comme une température, qu'on fixe à zéro sur les deux 2-sphères à identifier, et qui serait par exemple négative dans la première boule (en décroissant jusqu'à son centre) et positive dans la seconde. Cette construction est analogue à celle de la sphère ordinaire obtenue en recollant deux disques par leurs frontières (les cercles qui les bornent), ces disques devenant deux hémisphères.

Imaginant la 2-sphère comme un ballon, on voit qu'en la perçant et en l'aplatissant, le point manquant devient un cercle (une 1-sphère) et la surface du ballon le disque (une 2-boule) intérieur à ce cercle. De même, une 3-boule est le résultat de ce processus appliqué à la 3-sphère. Pour reconstruire la 3-sphère, on part donc d'une 3-boule, et on identifie tous les points de sa frontière (une 2-sphère) en un seul.

Une autre façon de voir ces opérations est la projection stéréographique : posant le pôle Sud de la 2-sphère sur un plan, on associe à chaque point de la sphère (autre que le pôle Nord) l'intersection avec ce plan de la droite joignant le pôle Nord au point. L'analogue en 3 dimensions est une bijection de la 3-sphère privée d'un point avec l'espace (tridimensionnel) tout entier ; on démontre de plus que cette application envoie les 2-sphères et les plans de l'espace sur les 2-sphères de la 3-sphère (les plans étant envoyés sur celles passant par le centre de projection). Une façon plus imagée de réaliser la correspondance dans le premier cas est d'imaginer le mouvement de billes sur la sphère lancée du pôle Sud avec une vitesse initiale arbitraire ; si on représente alors le point où la bille arrive au bout d'un temps déterminé en coordonnées polaires (le rayon représentant la valeur de la vitesse initiale, et l'angle la direction de cette vitesse), le pôle Nord est représenté par un cercle et les autres points par le disque intérieur à ce cercle ; la même idée sur la 3-sphère amène à une correspondance avec une 3-boule. Si l'on considère la 3-sphère comme un groupe de Lie, les trajectoires des billes en sont des sous-groupes à un paramètre, la 3-boule est (un voisinage de) l'espace tangent à l'identité (identifiée avec le pôle Sud) et l'application vers la 3-sphère est l'application exponentielle.

Par analogie avec les coordonnées sphériques, il est possible de repérer les points de la 3-sphère par trois angles ψ, θ et φ (ce choix n'est nullement unique) définis par

${\displaystyle x_{0}=r\cos \psi \ }$

${\displaystyle x_{1}=r\sin \psi \cos \theta \ }$

${\displaystyle x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \varphi \ }$

${\displaystyle x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \varphi \ }$

où ${\displaystyle \psi }$ et ${\displaystyle \theta }$ sont compris dans l'intervalle [0, π], tandis que ${\displaystyle \varphi }$ parcourt [0, 2π]. On remarquera que pour ${\displaystyle \psi }$ fixé, ${\displaystyle \theta }$ et ${\displaystyle \varphi }$ sont des coordonnées sphériques sur une 2-sphère de rayon ${\displaystyle r\sin \psi }$, en dehors des cas dégénérés où ${\displaystyle \psi }$ vaut 0 ou π, correspondant à un seul point.

Le tenseur métrique et la forme volume sur la 3-sphère correspondant à ces coordonnées sont respectivement donnés par :

${\displaystyle ds^{2}=r^{2}\left[d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]\$ ;\ dV=r^{3}\sin ^{2}\psi \,\sin \theta \,dr\wedge d\psi \wedge d\theta \wedge d\varphi .}

Ces coordonnées peuvent aussi être élégamment décrites en termes de quaternions : tout quaternion unité peut être écrit comme un verseur : ${\displaystyle q=e^{\tau \psi }=\cos \psi +\tau \sin \psi }$, où est un quaternion imaginaire (de partie réelle nulle) et unitaire (c'est-à-dire un quaternion vérifiant ${\displaystyle \tau ^{2}=-1}$) ; ceci est l'analogue pour les quaternions de la formule d'Euler.
L'ensemble des quaternions unitaires imaginaires formant la 2-sphère unité de Im H, on peut écrire tous les τ précédents : ${\displaystyle \tau =\cos \varphi \sin \theta i+\sin \varphi \sin \theta j+\cos \theta k}$. Sous cette forme, le quaternion unitaire ${\displaystyle q}$ est donné par : ${\displaystyle q=e^{\tau \psi }=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}$, où les ${\displaystyle x_{i}}$ correspondent aux formules données plus haut. Quand on utilise ${\displaystyle q}$ pour décrire des rotations dans l'espace (voir quaternions et rotation dans l'espace), il correspond alors à une rotation d'angle ${\displaystyle 2\psi }$ autour de ${\displaystyle \tau }$.

Comme pour la sphère ordinaire, l'ensemble des points où une seule des coordonnées hypersphériques varie est un cercle ; on parle respectivement de cercle parallèle, de cercle méridien et de cercle hyperméridien si la coordonnée variable est ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle \theta }$ ou ${\displaystyle \psi }$.

Un autre choix de coordonnées hypersphériques, (η, ξ₁, ξ₂), utilise le plongement de S³ dans C². En coordonnées complexes (z₁, z₂) ∈ C² , nous écrivons : ${\displaystyle z_{1}=e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta }$ et ${\displaystyle z_{2}=e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta .}$ Ici, η appartient à l'intervalle [0, π/2], et ξ₁ et ξ₂ sont deux angles quelconques de [0, 2π]. Ces coordonnées sont utiles pour décrire la 3-sphère en tant que fibration de Hopf : ${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}.\,}$ Pour toute valeur de η autre que 0 ou π/2, les coordonnées (ξ₁, ξ₂) forment une description paramétrique d'un tore (à 2 dimensions), appelé tore de Clifford ; tandis que les cas dégénérés correspondent à des cercles. Dans ce système de coordonnées, le tenseur métrique et la forme volume sont respectivement

${\displaystyle ds^{2}=d\eta ^{2}+\sin ^{2}\eta \,d\xi _{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,d\xi _{2}^{2}\$ ;\ dV=\sin \eta \cos \eta \,d\eta \wedge d\xi _{1}\wedge d\xi _{2}.}

La projection stéréographique de S³ à partir d'un pôle sur l'hyperplan équatorial correspondant donne un autre ensemble commode de coordonnées. Ainsi, si nous projetons à partir du point (−1, 0, 0, 0), nous pouvons écrire un point p de S³ comme :${\displaystyle p=\left({\frac {1-\|u\|^{2}}{1+\|u\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {u} }{1+\|u\|^{2}}}\right)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} }}}$, où u = (u₁, u₂, u₃) est un vecteur de R³ et ||u||² = u₁² + u₂² + u₃². Dans la seconde égalité, nous avons identifié p avec un quaternion unitaire et u = u₁ i + u₂ j + u₃ k avec un quaternion sans partie réelle (il faut remarquer que cette écriture est justifiée car le numérateur et le dénominateur commutent ici, même si la multiplication des quaternions est non-commutative en général). La bijection réciproque envoie p = (x₀, x₁, x₂, x₃) dans S³ sur : ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {1}{1+x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).}$ Nous pourrions également avoir pris comme centre de projection le point (1, 0, 0, 0), auquel cas p serait donné par : ${\displaystyle p=\left({\frac {-1+\|v\|^{2}}{1+\|v\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {v} }{1+\|v\|^{2}}}\right)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} }}}$, où v = (v₁, v₂, v₃) est un autre vecteur de R³ ; la bijection réciproque envoie ici p sur :${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{1-x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).}$ Il faut remarquer que les coordonnées u sont définies partout sauf en (−1, 0, 0, 0) et que les coordonnées v le sont partout sauf en (1, 0, 0, 0). Ceci définit donc un atlas sur S³ formé de deux cartes locales, qui recouvrent S³ tout entier ; la fonction de transition entre les deux cartes est donnée par : ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\|u\|^{2}}}\mathbf {u} }$ et vice-versa.

• (en) David W. Henderson, Experiencing Geometry: In Euclidean, Spherical, and Hyperbolic Spaces, second edition, 2001 (lire en ligne) (chapitre 20 : 3-spheres and hyperbolic 3-spaces).
• (en) Jeffrey Weeks, The Shape of Space: How to Visualize Surfaces and Three-dimensional Manifolds, 1985 (chapitre 14 : The Hypersphere)

• « Conjecture » de Smale (en) (démontrée par Allen Hatcher)
• n-sphère
• 1-sphère, 2-sphère
• Tesseract, polychore, simplexe
• Matrices de Pauli
• Groupe des matrices de rotations SO(3)
• Quaternions et rotation dans l'espace
• Fibration de Hopf, sphère de Riemann
• Feuilletage de Reeb, tore de Clifford

(en) Eric W. Weisstein, « Hypersphere », sur MathWorld (attention, cet article appelle n-sphère la sphère de l'espace à n dimensions ; notre 3-sphère y est donc appelée la 4-sphère)

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