Tore de Clifford

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, le tore de Clifford, nommé d'après William Kingdon Clifford, est le plongement le plus simple et le plus symétrique du 2-tore (c'est-à-dire du produit cartésien de deux cercles) dans l'espace R⁴.

Projection stéréographique d'un tore de Clifford en rotation.

Le carré est le polygone fondamental (en) du tore, qu'on obtient en recollant les côtés opposés.

Projeté dans l'espace à trois dimensions (par exemple en projection stéréographique) il conserve sa topologie (et peut même s'identifier au tore ordinaire), mais il est impossible de conserver son absence de courbure.

En prenant pour les deux cercles le rayon $\textstyle {\sqrt {1/2}}$ , le tore de Clifford peut s'identifier à un sous-ensemble de la 3-sphère unité ; on peut aussi le représenter dans le plan C² comme l'ensemble des points dont les deux coordonnées sont de module 1.

Le tore de Clifford est obtenu (en tant que variété riemanienne) en identifiant les bords opposé d'un carré ; la géométrie correspondante est donc euclidienne[1].

Définitions

Produit cartésien

Le cercle unité S¹ dans R² peut être paramétré par $S^{1}=\{(\cos \theta ,\sin \theta )\mid 0\leq \theta <2\pi \}$ . Une autre copie étant paramétrée par un angle indépendant $S^{1}=\{(\cos \varphi ,\sin \varphi )\mid 0\leq \varphi <2\pi \}$ , on définit le tore de Clifford comme le produit cartésien ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta ,\sin \theta ,\cos \varphi ,\sin \varphi )\;\right|\;0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}$ , où le facteur ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ assure que tous les points sont dans la 3-sphère unité S³.

Construction à partir des nombres complexes

Dans le plan complexe C, le cercle unité peut se représenter par $S^{1}=\{e^{i\theta }\mid 0\leq \theta <2\pi \}$ ; le tore de Clifford s'identifie donc au sous-ensemble de C² $\{{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(e^{i\theta },e^{i\varphi })\,|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \}$ ; autrement dit, ce sont les points de C² dont les coordonnées (z₁, z₂) vérifient $\left|z_{1}\right|^{2}=\left|z_{2}\right|^{2}=1/2$ .

Autres paramétrages

Le tore de Clifford peut également se paramétrer à l'aide des coordonnées de Hopf : tout point de la 3-sphère s'écrit $(\cos \lambda \cos \theta ,\cos \lambda \sin \theta ,\sin \lambda \cos \varphi ,\sin \lambda \sin \varphi )$ , le tore correspond à $\lambda =\pi /4$ et il partage la 3-sphère en deux régions isomorphes au tore plein : $\pi /4<\lambda <5\pi /4$ et $\pi /4<\lambda <5\pi /4$ , et transformées l'une en l'autre par la symétrie centrale $\lambda \mapsto \lambda +\pi$ .

Le calcul des dérivées partielles de ces paramétrages et l'équation d'Euler-Lagrange permettent de montrer que le tore de Clifford est une surface minimale de S³.

Définition générale

Plus généralement, avec la représentation paramétrique précédente, les points de la 3-sphère ayant pour coordonnées $(\cos \lambda \cos \theta ,\cos \lambda \sin \theta ,\sin \lambda \cos \varphi ,\sin \lambda \sin \varphi )$ , avec $\lambda$ fixé différent de $k\pi /2$ , forment encore un tore appelé souvent également tore de Clifford (mais ce n'est plus une surface minimale en général).

Tores de Clifford en dimensions supérieures

La sphère unité S²ⁿ⁻¹ d'un espace euclidien de dimension paire R²ⁿ (identifié à Cⁿ) est l'ensemble des n-uplets de coordonnées complexes vérifiant $S^{2n-1}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}=1\}.$ Toute famille de nombres positifs r₁, ..., r_n tels que r₁² + ... + r_n² = 1 définit alors un tore de Clifford généralisé par

T_{r_{1},\ldots ,r_{n}}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{k}|=r_{k},~1\leqslant k\leqslant n\}

, certains de ces tores étant dégénérés si l'un des r_i est nul ; l'ensemble de ces tores constitue une fibration de la sphère S²ⁿ⁻¹.

Applications

En géométrie symplectique, le tore de Clifford est un exemple de sous-variété lagrangienne de C².

La conjecture de Lawson (en) affirme que tout plongement minimal d'un tore dans la 3-sphère est un tore de Clifford ; elle a été démontrée par Simon Brendle in 2012.

Voir aussi

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Clifford torus » (voir la liste des auteurs).

(en) V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus et B. Thibert, « Flat tori in three-dimensional space and convex integration », Proceedings of the National Academy of Sciences, Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 109, n^o 19,‎ avril 2012, p. 7218–7223 (PMID 22523238, PMCID 3358891, DOI 10.1073/pnas.1118478109).

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[1] (en) V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus et B. Thibert, « Flat tori in three-dimensional space and convex integration », Proceedings of the National Academy of Sciences, Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 109, n^o 19,‎ avril 2012, p. 7218–7223 (PMID 22523238, PMCID 3358891, DOI 10.1073/pnas.1118478109).