Projection stéréographique

Projection stéréographique du pôle nord sur un plan non équatorial.

Coupe d'une projection stéréographique par un plan passant par le centre de la sphère, le pôle nord et le point à transformer. Cette fois-ci, le plan de projection n'est pas équatorial.

Une sphère de dimension n est l'ensemble des points de l'espace de dimension n + 1 situés à distance r du centre de la sphère. Si on ne précise pas le type de distance, on utilise la distance euclidienne de deux points, de vecteurs de coordonnées u et v, distance donnée par la norme euclidienne du vecteur v – u :

${\displaystyle |v-u|=\left(\sum _{j=1}^{n+1}|v_{j}-u_{j}|^{2}\right)^{1/2}}$

La projection stéréographique permet de définir un homéomorphisme entre une sphère de dimension n privée d'un point et l'espace de dimension n. La présentation qui suit est valable en dimension n ≥ 1 quelconque, mais le cas particulier d'une sphère ordinaire peut être lu sans autre modification que de remplacer le mot « hyperplan » par le mot « plan » dans ce qui suit.

Géométriquement, notons N (comme Nord) le point particulier dont on va priver la sphère. Soit Π un hyperplan perpendiculaire au rayon déterminé par N. On supposera que cet hyperplan plan n'est pas le plan tangent en N à la sphère.

Soit x ≠ N un point de la sphère. Notons D la droite déterminée par x et N ; cette droite n'est jamais parallèle au plan Π, parce que seules les droites tangentes à la sphère en N sont parallèles à Π. En particulier, D n'est pas entièrement contenue dans Π. Il y a donc un unique point d'intersection de D avec Π. Ce point est l'image de x par projection stéréographique. Réciproquement, si X est un point du plan Π, comme ce plan ne passe pas par N, la droite déterminée par X et N coupe la sphère en N et en un autre point x, qui est l'image réciproque de X par projection stéréographique.

Afin de comprendre visuellement ce qui se produit, on remarque que toute la construction se passe dans l'hyperplan de dimension n - 1 déterminé par le centre de la sphère, N et x (ou X). On se rapportera à la figure faite en dimension n = 3, dans cet hyperplan (donc un plan, ici) pour bien voir la construction.

Du point de vue analytique, on simplifie le calcul en fixant l'origine des coordonnées au centre de la sphère, le pôle nord sur le n + 1-ième axe de coordonnées, et le rayon de la sphère égal à l'unité. Les deux premiers choix sont simplement un choix de repère. Le dernier est un choix d'unité de longueur. Si on ne désire pas changer cette dernière, on pourra pratiquer une homothétie sur les formules ci-dessous, afin de traiter le cas d'une sphère de rayon r quelconque.

Avec ces choix, la sphère unité Sⁿ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ est définie par :

${\displaystyle S^{n}=\left\lbrace x=(x_{1},\dots ,x_{n},x_{n+1}):\sum _{j=1}^{n+1}\left|x_{j}\right|^{2}=1\right\rbrace .}$

Posons y = (x₁, ..., x_n), s = x_n+1. Le point N a pour coordonnées ${\displaystyle y=0\in \mathbb {R} ^{n}}$ et s = 1. L'hyperplan Π a pour équation s = h. Les points de Π auront comme coordonnée courante (ξ , h), avec ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$.

Géométriquement, (y , s – 1) et (ξ , h – 1) sont non nuls et colinéaires. Il existe donc un scalaire non nul λ tel que

${\displaystyle y=\lambda \xi ,\quad s-1=\lambda (h-1).}$

Si on se donne (y , s) dans Sⁿ, on substitue y par λξ et s par 1 + λ(h – 1) dans la relation de définition |y|² + |s|² = 1. Un bref calcul fournit, après division par λ ≠ 0, la relation

${\displaystyle \lambda ={\frac {2(1-h)}{|\xi |^{2}+(1-h)^{2}}}.}$

Le choix h ≠ 1 assure que λ est toujours bien défini. La valeur de y et s en fonction de ξ est donc

${\displaystyle y={\frac {2(1-h)\xi }{|\xi |^{2}+(1-h)^{2}}},\quad s={\frac {|\xi |^{2}-(1-h)^{2}}{|\xi |^{2}+(1-h)^{2}}}.}$

Réciproquement, si y et s sont donnés, on aura

${\displaystyle \lambda ={\frac {s-1}{h-1}},\quad \xi ={\frac {(h-1)y}{s-1}}.}$

L'image par projection stéréographique d'un grand cercle passant par N est une droite passant par le point (0,h). L'image d'un cercle quelconque tracé sur la sphère et passant par N est la droite formée de l'intersection de Π avec le plan déterminé par le cercle. L'image d'un cercle ne passant pas par N est un cercle de l'hyperplan Π.

Démonstration géométrique du fait qu'une projection stéréographique est une transformation conforme.

Une projection stéréographique est une transformation conforme : l'angle entre deux droites tangentes en un même point à la sphère est le même que l'angle entre leur projection. Pour le voir, il suffit de vérifier que la matrice jacobienne de la projection stéréographique est celle d'une similitude.

On peut aussi en donner une démonstration géométrique[1]. Soit M un point de la sphère autre que le pôle nord N et soit deux droites tangentes à la sphère en M. Soient les deux plans passant par N et M, et contenant respectivement chacune des deux droites. Les intersections de ces plans avec le plan de projection sont les images par la projection des deux droites tangentes en M. De plus, ces deux plans découpent dans la sphère deux cercles ayant la corde [NM] en commun et tangents aux deux droites initiales. Considérons les tangentes en N à chacun de ces deux cercles. Elles sont contenues dans chacun des deux plans, et parallèles au plan de projection. Elles sont donc parallèles aux projections des deux droites tangentes en M. L'angle qu'elles forment est donc égal à l'angle entre les deux projections. Mais par ailleurs, du fait de la symétrie des deux cercles par rapport au plan médiateur de [MN], N et les deux tangentes en N sont symétriques de M et des tangentes en M par rapport à ce plan médiateur, donc l'angle entre les tangentes en M est égal à celui entre les tangentes en N. Par conséquent, l'angle entre les deux tangentes en M est le même que celui entre leur projection.

La projection stéréographique transforme les cercles de la sphère en cercles du plan de projection.

Tout cercle est transformé par la projection stéréographique en un cercle du plan de projection (ou un segment de droite si le pôle N de la projection est sur le plan du cercle et ce dernier n'est pas parallèle au plan de projection, ou bien un ensemble vide si plan du cercle est parallèle mais distinct du le plan de projection ; si le plan du cercle et le plan de projection sont identiques, la projection conserve ce cercle).

Pour le cas le plus fréquent où le plan du cercle est distinct du plan de projection, considérons le cône tangent à la sphère le long du cercle (C) à projeter[1]. Soit P son sommet et P' son image par la projection stéréographique. Alors (C) se projettera en un cercle (C') de centre P'. En effet, l'image d'une génératrice quelconque du cône est l'intersection du plan qui la contient et qui passe par N, avec le plan de projection. Il s'agit donc d'une droite passant par P'. Par ailleurs, la génératrice coupe (C) à angle droit et, la projection stéréographique étant conforme, son image coupe (C') également à angle droit. (C') est donc une courbe coupant toute droite issue de P' à angle droit. Il s'agit d'un cercle de centre P'.

Cinq exemples de « cercles » unité pour des normes non euclidiennes.

On peut définir la projection stéréographique de n'importe quelle sphère « arrondie » sur un plan : si la boule unité pour une norme de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ est strictement convexe, c'est-à-dire si le bord de cette boule unité ne contient aucun segment de droite, alors la même construction fonctionne encore, mais le résultat peut dépendre fortement du choix du point N, puisqu'une telle sphère n'est isotrope, c'est-à-dire invariante par rotations de l'espace de dimension n + 1, que si elle est euclidienne.

La figure montre quelques « cercles » unité pour la norme

${\displaystyle |x|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}\right)^{1/p},}$

pour p strictement compris entre 1 et l'infini. Pour p = 1 et pour p = ∞, le cercle unité relatif à ces normes n'est pas assez arrondi pour assurer l'unicité de la projection stéréographique, ou son existence.

Pour la représentation graphique des groupes ponctuels de symétrie, le point à l'intersection des éléments de symétrie est placé au centre de la sphère. Dans certains cas, il n'existe pas un tel point ou il en existe une infinité : il s'agit des groupes 1, 2, m, mm2, 4, 4mm, 3, 3m, 6 et 6mm. On choisit alors généralement l'axe de plus haute symétrie ou la droite d'intersection des éléments de symétrie comme direction nord-sud de la sphère.

Les éléments de symétrie dans les groupes ponctuels sont de trois types : plans de réflexion, axes de rotation et axes de roto-inversion. Chaque élément de symétrie passe par le centre de la sphère.

Pour les plans miroirs, l'intersection d'un plan avec une sphère étant un cercle, trois cas se présentent :

• le plan miroir est parallèle au plan équatorial, sa projection stéréographique est le grand cercle extérieur représenté en bleu dans la figure du groupe 4/mmm ci-dessous ;
• le plan miroir est perpendiculaire au plan équatorial, sa projection est un segment ;
• le plan miroir est ni parallèle ni perpendiculaire au plan équatorial, sa projection consiste en deux arcs de cercle de même longueur et d'extrémités communes sur le grand cercle (« grand cercle intérieur »), tracés en bleu dans la représentation du groupe m3m ci-dessous.

L'intersection d'un axe de symétrie avec la sphère produit deux points diamétralement opposés, la projection stéréographique d'un axe de symétrie consiste donc en deux points. Les axes de symétrie sont représentés par des symboles définis dans les tables internationales de cristallographie[2].

• Si l'axe est perpendiculaire au plan équatorial, les deux points se confondent au centre du cercle de projection (axes 4 et 4 représentés en rouge dans les figures des groupes 4/mmm et 42m ci-dessous).
• Si l'axe est parallèle au plan équatorial, les deux points sont diamétralement opposés sur le grand cercle extérieur (axes 2 du groupe 42m dans la figure ci-dessous).
• Si l'axe est ni parallèle ni perpendiculaire au plan équatorial, les deux points sont à l'intérieur du cercle de projection et symétriques par rapport au centre du cercle (axes 3 du groupe m3m).

• 
  Groupe 4/mmm
• 
  Groupe 42m
• 
  Groupe m3m

Les faces des formes cristallines sont représentées par leurs normales. On ne considère que l'intersection de la normale avec la sphère qui est la plus proche de la face considérée. Cette intersection est appelée « pôle de la face ». Si un pôle est situé sur l'hémisphère nord de la sphère, il est représenté par une croix, sinon, par un cercle. La distinction entre les hémisphères n'est pas faite pour la représentation des éléments de symétrie.

Les figures ci-dessous montrent un tétraèdre et sa projection stéréographique avec les éléments de symétrie de son groupe, 43m. Les normales de ses faces sont confondues avec les axes de rotation d'ordre 3.

• Figure de pôles
• Projection cartographique

• Vidéo pédagogique extaite d'une série de 9 épisodes sur la représentation des dimensions dans l'espace
• Animation de l‘American Mathematical Society montrant de manière esthétisée un portrait de Bernhard Riemann se déplaçant sur une sphère et projeté stéréographiquement en même temps sur un plan.
• Dandelin, Gergonne, Usages de la projection stéréographique en géométrie, Annales de mathématiques pures et appliquées, tome 16 (1825-1826), p. 322-327.

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