Perpendicularité
La perpendicularité (du latin per-pendiculum, « fil à plomb ») est le caractère de deux entités géométriques qui se coupent à angle droit. La perpendicularité est une propriété importante en géométrie et en trigonométrie, branche des mathématiques fondée sur les triangles rectangles, dotés de propriétés particulières grâce à leurs deux segments perpendiculaires.
Ne doit pas être confondu avec orthogonalité.
En géométrie plane, deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. La notion de perpendicularité s'étend à l'espace pour des droites ou des plans.
Les notions d'orthogonalité et de perpendicularité, quoique voisines, possèdent leurs spécificités propres et ne doivent pas être confondues.
En géométrie plane
1. prendre un compas,
2. piquer la pointe sèche du compas sur P et tracer l'arc de cercle en rouge (le rayon du cercle en rouge est un peu plus grand que la distance du point P au segment AB).
3. En gardant la même ouverture au compas, piquer la pointe sèche du compas sur A' et tracer l'arc de cercle en vert.
4. Toujours en gardant la même ouverture au compas, piquer la pointe sèche sur B' et tracer l'arc de cercle en vert.
5. Les deux arcs en vert se rencontrent au points Q et P.
6. Prendre une règle.
7. Tracer le segment PQ.
En géométrie euclidienne plane, deux droites non parallèles sont toujours sécantes. Lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit (i.e. quatre angles droits), elles sont dites perpendiculaires. Les directions des droites étant orthogonales, les droites sont dites aussi orthogonales. En revanche, deux segments peuvent avoir des directions orthogonales sans pour autant se couper. Ce n'est que si les segments se coupent en angle droit qu'ils seront dits perpendiculaires.
Dans le plan, par un point donné, ne passe qu'une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.
Dans le plan, les notions de droites perpendiculaires et parallèles sont liées par les propriétés suivantes :
- Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.
- Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
- Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.
Si le plan est muni d'un repère orthonormal [on peut[1], supposant acquis le théorème de Pythagore, via la condition évoquée ci-contre dans l'illustration, retrouver la condition classique (ac+bd=0) pour que deux Vecteurs u(a,b) et v(c,d) soient perpendiculaires (on dit[1] aussi orthogonaux)], et si les droites sont définies par les équations et , les droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs aa' est égal à -1.
Si le plan est muni d'un repère orthonormal et si les droites sont définies par les équations et , les droites sont perpendiculaires si et seulement si .
On note la perpendicularité avec le symbole ; ainsi, indique que les segment PQ est perpendiculaire au segment AB.
Dans l'espace de dimension 3
Droites perpendiculaires
Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles se coupent en formant un angle droit. Dans l'espace, des droites, non parallèles, peuvent ne pas se couper. Si une des droites est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre alors les deux droites sont dites orthogonales. Elles ne seront dites perpendiculaires que si elles sont sécantes.
Dans l'espace, si une droite est donnée et si un point non situé sur la droite est donné, il n'existe qu'une seule droite passant par le point donné et perpendiculaire à la droite donnée. Si le point est situé sur la droite, il existe une infinité de droites passant par ce point et perpendiculaire à la droite donnée.
Dans l'espace, les notions de parallèles et de perpendiculaires ne sont plus aussi liées.
- Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l'une est seulement orthogonale à l'autre. Elle ne sera perpendiculaire à l'autre que si elle la coupe.
- Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est seulement orthogonale à l'autre. Elle ne sera perpendiculaire à l'autre que si elle la coupe
- Deux droites peuvent être perpendiculaires à une même droite sans pour autant être parallèles, il suffit par exemple de prendre les trois droites supportant les arêtes du coin d'un cube.
Droite perpendiculaire à un plan
Dans l'espace, si une droite n'est pas parallèle à un plan, elle coupe toujours ce plan. Si la droite est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan, on dira que la droite est perpendiculaire au plan. La droite sera alors orthogonale à toutes les droites du plan. Cette propriété s'appelle parfois théorème de la porte car elle explique pourquoi une porte peut tourner sur ses gonds si son axe de rotation est bien perpendiculaire au plancher.
Dans l'espace, par un point donné ne passe qu'une seule droite perpendiculaire à un plan donné et qu'un seul plan perpendiculaire à une droite donnée.
On retrouve alors des relations plus intéressantes sur perpendiculaires et parallèles
- Si une droite est perpendiculaire à un plan, toute droite parallèle à la première est aussi perpendiculaire au plan, tout plan parallèle au premier plan est aussi perpendiculaire à la droite
- Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
- Si deux plans sont perpendiculaires à une même droite, ils sont parallèles. De même, si deux droites sont perpendiculaires à une même plan, elles sont parallèles.
La direction perpendiculaire à une surface en un point est souvent appelée la direction normale à la surface, ou encore orthogonale.
Plans perpendiculaires
La notion de plans perpendiculaires, bien qu'intuitive, est très dangereuse car elle ne possède pratiquement aucune propriété. Pour comprendre la notion de plans perpendiculaires, il faut revenir à la définition première de perpendiculum (fil à plomb) et à la notion de plan vertical et plan horizontal. Un plan horizontal est un plan perpendiculaire à la direction du fil à plomb. Un plan vertical est un plan contenant la direction du fil à plomb. Un plan vertical est dit alors perpendiculaire au plan horizontal.
De cette notion première naît la définition suivante : Un plan est perpendiculaire à un autre, s'il contient une droite perpendiculaire au second plan. On démontre que cette relation est symétrique.
Il n'existe pas de notion de plans orthogonaux en dimension 3. Deux plans seraient orthogonaux si toute direction du premier plan était orthogonale à toute direction du second plan, ce qui est matériellement impossible.
Il faut se méfier de la notion de plans perpendiculaires. Par exemple :
- deux plans perpendiculaires peuvent contenir des droites parallèles
- deux plans perpendiculaires à un troisième ne sont pas forcément parallèles (voir les faces du cube).
Il reste cependant quelques propriétés
- Si deux plans sont perpendiculaires, un plan parallèle à l'un est perpendiculaire à l'autre
- Si deux plans sont parallèles, un plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
Notion générale de sous-espaces perpendiculaires en dimension quelconque
Dans un espace euclidien, deux sous-espaces vectoriels sont dits orthogonaux quand tout vecteur de l'un est orthogonal à tout vecteur de l'autre. Ils sont alors automatiquement en somme directe. Ainsi deux plans de l'espace euclidien à trois dimensions ne peuvent être orthogonaux.
Deux sous-espaces vectoriels sont dits perpendiculaires quand ce sont leurs supplémentaires orthogonaux qui sont orthogonaux. Ainsi deux plans vectoriels de l'espace à trois dimensions sont perpendiculaires quand leurs droites normales sont orthogonales.
Notes et références
- Serge Lang, Algèbre linéaire 1, intereditions, p. 13 et 17
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