Quasigroupe

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, un quasigroupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne (un magma) pour laquelle (en pensant cette loi comme une multiplication), il est possible de diviser, à droite comme à gauche, le quotient à droite et le quotient à gauche étant uniques. En d'autre termes l'opération de multiplication à droite est bijective, de même que celle de multiplication à gauche. La loi n'est pas nécessairement associative, et si elle l'est, le quasigroupe est un groupe.

Présentation

La table de Cayley d'une loi de groupe vérifie une propriété dite de réarrangement^{[réf. nécessaire]} :

chaque élément du groupe apparait une fois et une seule dans chaque ligne et chaque colonne de la table.

Mais une loi dont la table satisfait cette propriété n'est pas nécessairement la loi d'un groupe. La loi obtenue est cependant « quasiment » celle d'un groupe, d'où, probablement, le nom de « quasigroupe » donné aux structures correspondantes.

La propriété de réarrangement peut s'exprimer de manière plus formelle :

dire qu'un élément apparait une fois et une seule sur chaque ligne revient à affirmer que pour tous x et z, l'équation x * y = z a une et une seule solution en y ;
de même, dire qu'un élément apparait une fois et une seule sur chaque colonne revient à affirmer que pour tous y et z, l'équation x * y = z a une et une seule solution en x.

Définition formelle

Un quasigroupe est un magma (E , ✶) non vide tel que pour chaque couple (a, b) l'équation a * x = b a une unique solution en x et l'équation y * a = b possède une unique solution en y.

Un carré latin est une matrice n × n remplie avec n symboles différents d'une façon telle que chaque symbole apparaisse exactement une fois par ligne et une fois par colonne. La table d'un quasigroupe fini est un carré latin, et un carré latin est la table d'un quasigroupe fini.

Exemples

Tout groupe (trivialement).
Tout système triple de Steiner.
L'ensemble des éléments non nuls d'une algèbre de dimension finie sans diviseurs de zéro (par exemple les octonions non nuls).
Rⁿ avec l'opération x * y = (x + y) / 2. Plus généralement, tout espace vectoriel sur un corps commutatif de caractéristique différente de 2 muni de cette opération.

Structures dérivées

Un quasigroupe avec un élément neutre (nécessairement unique) est appelé une boucle (loop en anglais). D'après la définition des quasigroupes, tout élément d'une boucle a un inverse à droite et un inverse à gauche, uniques mais non nécessairement égaux.
Un Moufang ou une boucle de Moufang (en) est un quasigroupe (E, *) dans lequel, pour tous a, b et c : $(a*b)*(c*a)=(a*(b*c))*a.$ Comme son nom le suggère, une boucle de Moufang est une boucle.

Démonstration

Pour un a dans E, il existe un élément e de E tel que a * e = a, car la multiplication à droite est bijective. Alors pour tout x dans E, (x * a) * x = (x * (a * e)) * x = (x * a) * (e * x) ;

donc x = e * x et e est neutre à gauche.

Pour tout y appartenant à E, y * e = e * (y * e) car e est neutre à gauche ;

ainsi (y * e) * e = (e * (y * e)) * e = (e * y) * (e * e) = y * e,

d'où y * e = y, et e est donc neutre à droite.

Donc e est un élément neutre.

Principales propriétés

Tout quasigroupe associatif est un Moufang, donc une boucle.
Toute boucle associative est un groupe.
Par conséquent, un quasigroupe est un groupe si et seulement si sa loi est associative.
La loi d'un quasigroupe est régulière (ou simplifiable).

En effet, si x * y = x * z, alors il existe c tel que c = x * y et c = x * z.

Mais d'après la propriété de réarrangement, l'équation c = x * y a une et une seule solution en y. Donc y = z et la loi est régulière à gauche.

On montre de manière analogue que la loi est régulière à droite.

La réciproque est valide dans le cas fini : un magma (E, *) fini muni d'une loi de composition interne régulière est un quasigroupe.

Démonstration

Par contraposée, montrons que si (E, *) n'est pas un quasigroupe alors la loi * n'est pas régulière.

Si (E, *) n'est pas un quasigroupe, alors il existe (a,b) tel que les équations en x et y, a * x = b et y * a = b :

- soit n'admettent pas de solution. Dans ce cas, supposons sans perte de généralité que l'équation a * x = b n'a pas de solution.

Soit n le nombre d'éléments du magma. Comme l'équation a * x = b n'a pas de solution, les éléments du magma du type a * x où x parcourt les éléments du magma sont au plus n-1. Par le lemme des tiroirs, il existe donc deux éléments distincts z et t tels que a * z = a * t, ce qui contredit la régularité à gauche de *. En supposant que y * a = b n'a pas de solution, on aurait obtenu par un argument identique que * n'est pas régulière à droite.

- soit admettent au moins deux couples distincts (u,v) et (w,t) de solutions. On a donc u distinct de w ou v distinct de t.

Si u est distinct de w, alors a * u = b = a * w n'implique pas u=w ce qui contredit la régularité à gauche de *. De même, si v est distinct de t, on contredit la régularité à droite de *. CQFD.

Il existe des magmas infinis réguliers qui ne sont pas des quasigroupes.

Il suffit de considérer l'addition sur ℕ*. En effet, c'est un magma régulier car si a + x = a + y ou x + a = y + a, alors clairement x = y. Par contre, ce n'est pas un quasigroupe car 1 + x = 1 n'a aucune solution.

La « division » est toujours possible dans un quasigroupe.

Soit « • » la correspondance de E × E dans E définie par :

\forall x\in E,\forall y\in E,\forall z\in E,[(x,y)\bullet z]\Leftrightarrow [z*y=x].

Cette correspondance est intuitivement « l'opération inverse » de l'opération

*\,

, autrement dit une « division »;

C'est une application car * est régulière. C'est donc une loi de composition interne : (E, • ) est un magma, et la « division » • s'applique donc à tous les couples de E².

Un quasigroupe associatif est un groupe.

Démonstration

Pour qu'un magma soit un groupe, il suffit qu'il soit associatif, unifère à gauche, et que chacun de ses éléments soit symétrisable à gauche.

L'associativité étant supposée, il suffit donc de démontrer l'existence de l'élément neutre à gauche puis l'existence du symétrique à gauche pour chaque élément du magma.

Existence d'un élément neutre à gauche:

soit (E, *) un quasigroupe associatif, et

x

, un élément de E

Par définition du quasigroupe:

$\exists !e_{x}\in E:e_{x}*x=x$
$\forall y\in E\exists !y_{x}\in E:x*y_{x}=y$

En utilisant les mêmes termes, par associativité de *:

$e_{x}*y=e_{x}*(x*y_{x})=(e_{x}*x)*y_{x}=x*y_{x}=y$

Donc

e_{x}

est un élément neutre à gauche pour la loi de composition *, on le notera désormais

e

Symétrique à gauche

Dans la mesure où l'existence de

e

est prouvée, par définition du quasigroupe:

\forall y\in E\exists y':y'y=e

y'

est le symétrique à gauche de

y

.

Voir aussi

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quasigroup » (voir la liste des auteurs).

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