Équation de Fermat généralisée

En arithmétique, l'équation de Fermat généralisée est l'équation

sont des entiers non nuls, sont des entiers non nuls premiers entre eux et sont entiers.

Comme son nom le laisse transparaître, cette équation généralise l'équation dont le fameux dernier théorème de Fermat établit l'impossibilité quand . À l'instar de celui-ci avant sa résolution, son principal intérêt réside aujourd'hui dans la stimulation du développement des nouveaux outils mathématiques nécessaires à son appréhension. Parmi ces outils, se trouvent les courbes de Frey, les formes modulaires et les représentations de Galois. À ce titre, le sujet des équations de Fermat généralisées profite fortement des ponts jetés entre arithmétique et théorie des représentations par le programme de Langlands. Certaines approches cyclotomiques ont aussi été avancées, mais aucune ne semble suffisamment puissante.

L'équation de Fermat généralisée se réfère parfois à la seule équation ou à la seule équation . Cette dernière est la plus étudiée et au moins deux conjectures non résolues s'y rapportent : la conjecture de Fermat-Catalan et la conjecture de Beal.

Définitions

On appelle la signature et la caractéristique de l'équation . On distingue plusieurs grands cas selon la caractéristique, nommés par analogie avec la classification des espaces selon leur courbure :

  • , le cas sphérique. est à permutation près ou .
  • , le cas euclidien (ou parabolique). est à permutation près , ou .
  • , le cas hyperbolique.

De par le nombre relativement faible de valeurs de les concernant, les cas sphérique et euclidien sont aujourd'hui bien compris. Le cas hyperbolique est donc celui qui fait l'objet du plus de recherches.

Conjectures

Conjecture de Fermat-Catalan

La conjecture de Fermat-Catalan ou conjecture de Fermat généralisée s'énonce

ne prend qu'un nombre fini de valeurs parmi toutes les solutions à avec des entiers premiers entre eux et des entiers tels que .

Il est nécessaire de demander une infinité de valeurs pour et non une infinité de valeurs pour car fournit cette infinité sans être toutefois intéressant.

Nous connaissons aujourd'hui 10 solutions à cette équation. Voir Cas hyperbolique.

Henri Darmon offrira dollars canadiens à quiconque trouvera une nouvelle solution à [1].

Conjecture de Beal

La conjecture de Beal s'énonce

Si , avec et , tous des entiers, alors possèdent un facteur commun.

Autrement dit, la conjecture de Beal est vraie si et seulement si toutes les solutions de l'équation de Fermat généralisée avec utilisent au moins une fois comme exposant.

Elle porte le nom d'Andrew Beal, banquier millionnaire américain et mathématicien amateur, qui la formula en 1993 dans un but de généralisation du dernier théorème de Fermat. Il l'a dotée en 1997 d'un prix monétaire en échange d'une preuve ou d'un contre-exemple. Le prix, qui s'élève aujourd'hui à 1 million de dollars, est détenu par la Société Américaine de Mathématiques[2].

Elle est parfois aussi appelée conjecture de Tijdeman et Zagier car eux aussi l'ont formulée en 1994. Si Andrew Beal l'a vraisemblablement formulée indépendamment, des questions très proches étaient déjà discutées par les chercheurs du domaine si bien que son origine exacte reste incertaine. Certains auteurs la font remonter à des discussions d'Andrew Granville datant de 1985.

Relations avec d'autres conjectures

La conjecture de Beal implique le dernier théorème de Fermat. En effet, à toute solution de correspond une solution respectant . Elle s'obtient en divisant par leur plus grand facteur commun.

La conjecture abc implique la conjecture de Fermat-Catalan et implique la conjecture de Beal à un nombre fini d'exceptions près.

Remarques générales

Quand apparait comme exposant, il peut être toujours remplacé par pour tout entier naturel puisqu'une puissance -ième est aussi une puissance -ième. Cela permet souvent de ne traiter que les cas et .

Si , la condition équivaut à la condition car tout entier divisant facteur de deux termes parmi divise aussi le troisième.

Si , alors

  • et jouent des rôles symétriques et peuvent donc être échangés.
  • Si est impair, alors résoudre l'équation de signature équivaut à résoudre celle de signature en remplaçant par .
  • Ensemble, ces deux remarques font que, si au moins deux entiers parmi sont impairs, l'équation de signature équivaut à toutes celles dont la signature est une permutation de .

La condition est là pour éviter qu'un terme de l'équation ne disparaisse. Dans le cas où il n'y a que deux termes, l'équation est très facile à résoudre.

La condition s'explique par le fait qu'on peut obtenir facilement d'au moins deux manières une infinité de solutions inintéressantes[1],[3] :

  • si sont premiers entre eux, alors il existe par le théorème des restes chinois tels que de sorte qu'à tous tels que on puisse associer une solution de l'équation de Fermat généralisée (qui s'obtient en multipliant les deux membres de l'égalité par ).
  • À toute solution correspond une infinité de solutions définies par .

Les tableaux de résultat sur cette page ne consignent que les solutions primitives non triviales. Lorsque l'exposant est pair, les différents signes sont omis. On utilisera la notation pour signifier que toutes les permutations de sont considérées.

Cas sphérique

Frits Beukers a démontré que, à fixé, soit il n'y a aucune solution, soit il y en a une infinité[4].

Si , nous disposons d'un nombre fini de paramétrisations polynomiales à coefficients entiers à deux variables[3] générant toutes les solutions :

sous-cas date auteurs notes ( sont des entiers non nuls premiers entre eux)
Les solutions sont les triplets pythagoriciens :
quelconque Une paramétrisation : . Voir Théorème des deux carrés de Fermat
C'est un cas facile à résoudre
Louis Mordell[5]
Don Zagier[5]
4 paramétrisations polynomiales
2004 Johnny Edwards[6] 27 paramétrisations polynomiales

Cas euclidien

Si , nous avons les résultats suivants

sous-cas date auteurs notes
2014 Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7] Une solution,
~1640 Pierre de Fermat Aucune solution. Voir Théorème de Fermat sur les triangles rectangles
1738 Leonhard Euler[8]
1760 Aucune solution. Découle du dernier théorème de Fermat

Cas hyperbolique

Le théorème de Darmon-Granville[9] assure qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions à l'équation à fixé si .

Alain Kraus donne des bornes supérieures explicites (dépendant de ) sur les nombres premiers tels que l'équation a des solutions primitives non triviales[10].

Dong Quan Ngoc Nguyen a montré en 2012, en utilisant l'obstruction de Brauer-Manin (en), que, pour tout , il existe une infinité de courbes de Fermat généralisées de signature violant le principe de Hasse[11] ; c'est-à-dire qu'il existe une infinité de triplets tels que l'équation a des solutions dans pour tout nombre premier mais aucune solution dans .

Résultats partiels quand min(p, q, r) = 2

Quand , l'équation admet toujours la solution dite de Catalan . Celle-ci est systématiquement omise dans le tableau ci-dessous.

Cas traités quand
sous-cas date auteurs notes
2005 Bjorn Poonen, Edward Schaefer, Michael Stoll[12] 4 solutions non-Catalan

2003 Nils Bruin[13] Une solution non-Catalan,
2017 Nuno Freitas, Bartosz Naskręcki, Michael Stoll[14][15] Aucune solution non-Catalan
Partiellement résolu
2013 Samir Siksek, Michael Stoll[16] Aucune solution non-Catalan
2013 Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[17]
2003 Nils Bruin[18] Une solution non-Catalan,

2009 David Brown[19] Aucune solution
2008 Michael Bennett, Jordan Ellenberg, Nathan C. Ng[20] 2 solutions, et
2003 Jordan Ellenberg[21] Aucune solution
voir ci-dessous Nils Bruin
2003 Nils Bruin[13]
1997 Nils Bruin[22]
2011 Michael Bennett, Imin Chen[23] Aucune solution
voir ci-dessus
Une solution,
2011 Sander Dahmen[24] Aucune solution
2014 Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]
2007 Imin Chen[25] Aucune solution.

Il suffit que respecte une condition simple, vérifiée numériquement pour les petites valeurs

2010 Imin Chen[26] Aucune solution
2014 Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]
Aucune solution non-Catalan
Leonhard Euler Aucune solution
1998 Bjorn Poonen[27]
1995 Henri Darmon, Loïc Merel[5]

Résultats partiels quand p, q, r ≥ 3

ou est impossible en vertu de la conjecture de Catalan, démontrée par Preda Mihăilescu en 2002. est impossible pour des raisons similaires. Les résultats partiels suivants sont pertinents pour l'établissement de la conjecture de Beal. Si elle est vraie, il n'y a aucune solution non triviale quand . L'inexistence de solutions n'est donc pas rappelée à chaque ligne.

Cas traités quand
sous-cas date auteurs notes
1825 Dirichlet
1994 Andrew Wiles C'est le dernier théorème de Fermat
1873 Édouard Lucas[28],[7][N 1]
1998 Bjorn Poonen[27]
1995 Henri Darmon, Loïc Merel[5]
2000 Nils Bruin[29]
Partiellement résolu
1998 Alain Kraus[30] Il suffit que respecte une condition simple, vérifiée numériquement pour les petites valeurs
2008 Imin Chen, Samir Siksek[31] Amélioration de la condition de Kraus et vérification numérique
2016 Nuno Freitas[32]
2014 Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]
d'autres conditions de modulo
2011 Samir Siksek, Michael Stoll[33]
voir sous-cas 2003 Luis Dieulefait[34]
voir sous-cas 1993 Henri Darmon[35]
voir sous-cas 1998 Bjorn Poonen[27]
2007 Nicolas Billerey[36],[37]
2013 Sander Dahmen, Samir Siksek[38]
Preuve conditionnelle supposant l'hypothèse de Riemann généralisée
voir sous-cas 2014 Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani[7]
2006 Michael Bennett[39]
2015 Samuele Anni, Samir Siksek[40]
2018 Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas[41]
1998 Alain Kraus[30] Kraus prouve que . En prenant, , on a le résultat

Recherche numérique

Peter Norvig, directeur de recherche chez Google, a annoncé avoir numériquement éliminé toutes les solutions éventuelles avec et ainsi que et [42].

Cas général

Le cas -smooth a été étudié par Lucas dans beaucoup de cas particuliers[28].

équation sous-cas date auteurs notes
1877 Édouard Lucas[43] Une infinité de solutions. Voir Cas sphérique.
2018 Angelos Koutsianas[44] Une solution,
2008 Sander Dahmen[45] Aucune solution
beaucoup de cas particuliers différents 1951 Ernst Selmer[46]
2016 Gustav Söderlund[47] Preuve élémentaire, aucune solution
Preuve élémentaire, une solution,
2008 Michael Bennett, Jordan Ellenberg, Nathan C. Ng[20] Aucune solution
2006 Luis Dieulefait, Jorge Jiménez Urroz[48]
2018 Angelos Koutsianas[44] Une solution,
2006 Andrzej Dąbrowski[49] Aucune solution
2002 Alain Kraus[50] Il n'existe qu'un nombre fini de donnant des solutions
2005 Luis Dieulefait[51] Aucune solution
2007 Nicolas Billerey[36] Aucune solution
quelques autres cas particuliers quand est -smooth
2011 Luis Dieulefait, Nuno Freitas[52][N 2]
2017 Nicolas Billerey, Imin Chen, Luis Dieulefait, Nuno Freitas[53] Une solution,
Aucune solution
2012 Nuno Freitas[54] Aucune solution
Aucune solution
2018 Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas[41] Aucune solution
2013 Nuno Freitas, Samir Siksek[55] Aucune solution
2000 Wilfrid Ivorra[56] 2 solutions, ,

Une solution,
2002 Michael Bennett, Chris M. Skinner[57] Aucune solution
3 solutions, ,

,

Aucune solution
2009 Andrzej Dąbrowski[37]
2000 Michael Bennett, Vinayak Vatsal, Soroosh Yazdani[58] Aucune solution
1996 Alain Kraus[59] Aucune solution
Pierre Dénes Une solution,
1995 Kenneth Ribet[60]
Partiellement résolu
2002 Emmanuel Halberstadt, Alain Kraus[61] Il existe un ensemble de nombres premiers de densité strictement positive tel qu'il n'y a aucune solution pour tout .

Généralisations

La conjecture de Beal est fausse si on l'étend aux entiers de Gauss. Après qu'un prix de 50 $ ait été mis en jeu pour une preuve ou un contre-exemple, Fred W. Helenius proposa [62].

Le dernier théorème de Fermat tient toujours dans certains anneaux. On dit que le dernier théorème de Fermat asymptotique est vrai dans le corps (ou dans son anneau des entiers , c'est équivalent) si

Il existe une constante telle que, pour tout premier (dans ), l'équation n'a pas de solution avec .

Ci-dessous, deux solutions sont dites équivalentes s'il existe tel que  :

équation corps sous-cas date auteurs résultats/notes
2013 Nuno Freitas, Samir Siksek[63] FLT asymptotique établi pour un ensemble de de densité parmi les entiers quadratfrei.

(améliorable à une densité de en supposant une généralisation de la conjecture d'Eichler-Shimura)

2016 Mehmet Şengün, Samir Siksek[64] FLT asymptotique établi en supposant une variante de la conjecture de modularité de Serre

(voir Programme de Langlands)

Paulo Ribenboim S'il existe une solution non triviale, il en existe une infinité (non équivalentes entre elles)
Alexander Aigner Toute solution est équivalente à une solution de la forme
Alexander Aigner, Fueter Il y a des solutions non triviales dans si et seulement si il y en a dans
2003 Frazer Jarvis, Paul Meekin[65] Aucune solution
Il existe une infinité de solutions générées par la solution
Aucune solution
Pour tout entier non divisible par , (cela correspond à est racine primitive troisième de l'unité)[66]
1978 Benedict Gross, David Rohrlich[67] Aucune solution
2004 Pavlos Tzermias[68]
1982 Fred Hao, Charles Parry[69]
2017 George Ţurcaş[66] Aucune solution en supposant une variante de la conjecture de modularité de Serre

(voir Programme de Langlands)

2015 Nuno Freitas, Samir Siksek[70] Aucune solution
1934 Alexander Aigner[71],[72] Aucune solution sauf si  :
2015 Heline Deconinck[73] existe en supposant que respecte la conjecture d'Eichler-Shimura

Notons aussi les généralisations à des exposants algébriques fournies par John Zuehlke par des preuves très simples n'utilisant que le théorème de Gelfond-Schneider[74],[75] :

Si et sont tels que , alors et ;

et le corollaire

L'équation n'a pas de solutions avec et .

Notes et références

Notes

  1. Le papier de Lucas ne traite pas explicitement ce cas, mais la section 5.2 de la 2ème source montre que celui-ci s'y ramène.
  2. Le texte sur arXiv n'est pas à jour. Les conditions sur n sont moins contraignantes dans le papier publié.

Références

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