Conjecture de Fermat-Catalan

En théorie des nombres, la conjecture de Fermat–Catalan combine les idées du dernier théorème de Fermat et la conjecture de Catalan, d'où le nom. La conjecture indique que l'équation

${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad \quad \quad \quad (1)}$

a seulement un nombre fini de solutions (a,b,c,m,n,k) avec des triplets distincts de valeurs (a^m, bⁿ, c^k); ici a, b, c sont des entiers premiers entre eux positifs et m, n, k sont des entiers positifs satisfaisant

${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1\quad \quad (2)}$

Cette restriction sur les exposants a pour effet d'empêcher une infinité connue de solutions de (1), dans lesquelles deux des exposants sont 2 (tels que les triplets pythagoriciens).

En 2015, les dix solutions suivantes à (1) sont connues[1] :

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}$

${\displaystyle 13^{2}+7^{3}=2^{9}\;}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}$

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}$

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}$

${\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;}$

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}$

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}$

La première (1^m+2³=3²) est la seule solution où l'un de a, b ou c vaut 1, selon la conjecture de Catalan, prouvée en 2002 par Preda Mihăilescu. Alors que ce cas conduit à une infinité de solutions de (1) (puisque nous pouvons choisir n'importe quel m pour m >  6), ces solutions ne donnent qu'un seul triplet de valeurs (a^m, bⁿ, c^k).

On sait par le théorème de Darmon-Granville, qui utilise le théorème de Faltings, que pour tout choix d'entiers fixés positifs m, n et k satisfaisant (2), il n'existe qu'un nombre fini de triplets (a, b, c) solutions de (1)[2]^,[3];^{:p. 64} mais la conjecture de Fermat-Catalan est une affirmation beaucoup plus forte, puisqu'elle permet une infinité d'ensembles d'exposants m, n et k.

La conjecture abc implique la conjecture de Fermat-Catalan.

La conjecture de Beal est vraie si et seulement si toutes les solutions de Fermat-Catalan utilisent une fois 2 comme exposant.