Conjecture de Brumer-Stark

Soit K/k une extension abélienne de corps globaux, et soit S un ensemble de places de k contenant les places archimédiennes et les idéaux premiers qui se ramifient dans K/k. La fonction L d'Artin équivariante S-imprimitive θ(s) est obtenue à partir de la fonction L d'Artin équivariante (en) usuelle en supprimant les facteurs d'Euler correspondant aux nombres premiers dans S des fonctions L d'Artin à partir desquelles la fonction équivariante est construite. C'est une fonction sur les nombres complexes prenant ses valeurs dans l'anneau complexe de groupe C[G], où G est le groupe de Galois de K/k. Elle est analytique sur l'ensemble du plan, à l'exception d'un seul pôle simple en s = 1.

Soit μ_K le groupe des racines de l'unité dans K. Le groupe G agit sur μ_K ; soit A l'annulateur de μ_K en tant que Z[G]-module. Un théorème important, d'abord prouvé par C. L. Siegel et plus tard indépendamment par Takuro Shintani (de), stipule que θ(0) est en fait dans Q[G]. Un théorème plus profond, prouvé indépendamment par Pierre Deligne et Ken Ribet, Daniel Barsky (de) et Pierrette Cassou-Noguès, montre que Aθ(0) est dans Z[G]. En particulier, Wθ(0) est dans Z[G], où W est le cardinal de μ_K.

Le groupe des classes d'idéaux de K est un G-module. D'après la discussion ci-dessus, il est donc muni d'une action de Wθ(0). La conjecture de Brumer-Stark énonce ce qui suit[1] :

Conjecture de Brumer-Stark. Pour tout idéal fractionnaire non nul ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ de K, il existe une « anti-unité » ε telle que :

1. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{W\theta (0)}=(\varepsilon )}$ ;
2. l'extension ${\displaystyle K\left(\varepsilon ^{\frac {1}{W}}\right)/k}$ est abélienne.

La première partie de cette conjecture est due à Armand Brumer, et Harold Stark a suggéré à l'origine que la deuxième condition pourrait être vraie aussi. La conjecture a été énoncée pour la première fois sous une forme publiée par John Tate[2].

Le terme « anti-unité » fait référence à la condition que |ε|_ν doit être égal à 1 pour chaque place archimédienne ν[1].

On sait que la conjecture de Brumer-Stark est vraie dans les cas suivants :

• K/Q est abélienne (le sous-cas où K/Q est cyclotomique résulte du théorème de Stickelberger[1]) ;
• K/k est quadratique[2] ou biquadratique.

Une conjecture analogue dans le cas de corps de fonctions est connue, ayant été prouvée par John Tate et Pierre Deligne.

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