Théorème de Stickelberger

Soit ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})}$ une extension cyclotomique de ℚ, de groupe de Galois ${\displaystyle G=\{\sigma _{a}|a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{*}\}}$, et considérons l'algèbre ℚ[G] du groupe. Définissons l'élément de Stickelberger ${\displaystyle \theta \in \mathbb {Q} [G]}$ par

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{m}}\sum _{1\leq a\leq m,(a,m)=1}a\sigma _{a}^{-1}}$

et prenons ${\displaystyle \beta \in \mathbb {Z} [G]}$ tel que ${\displaystyle \beta \theta \in \mathbb {Z} [G]}$. Alors ${\displaystyle \beta \theta \,}$ est un annulateur pour le groupe des classes d'idéaux de ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})}$, comme module de Galois.

Remarque : θ lui-même n'est pas nécessairement un annulateur, il se peut que seuls ses multiples dans ℤ[G] le soient.

, lui-même transcrit de (en) « Stickelberger's theorem », sur PlanetMath.

• Théorème de Herbrand-Ribet
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