Conjecture de Scholz

En mathématiques, la conjecture de Scholz, parfois appelée conjecture de Scholz-Brauer ou conjecture de Brauer-Scholz, fut proposée en 1937. Elle prétend que

${\displaystyle l\left(2^{n}-1\right)\leq n-1+l\left(n\right)}$

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où l(n) est la longueur de la plus courte chaîne d'additions qui produit n, c'est-à-dire le plus petit entier m pour lequel il existe une suite ${\displaystyle (v_{0},\ldots ,v_{m})}$ telle que ${\displaystyle v_{0}=1}$, ${\displaystyle v_{m}=n}$, et chaque ${\displaystyle v_{i}}$ est de la forme ${\displaystyle v_{j}+v_{k}}$ avec ${\displaystyle j,k<i}$.

Elle a été démontrée dans de nombreux cas, mais pas dans le cas général.

Par exemple pour n = 5 on a égalité, car l(5)=3 (puisque 1+1=2, 2+2=4, 4+1=5 et il n'existe pas de chaîne plus courte), l(31)=7 (1+1=2, 2+1=3, 3+3=6, 6+6=12, 12+12=24, 24+6=30, 30+1=31), et

${\displaystyle l\left(2^{5}-1\right)=5-1+l\left(5\right)}$.

Des considérations élémentaires sur la nature des chaînes d'additions et le codage binaire permettent d'établir l'inégalité suivante, plus faible (en) :

${\displaystyle l\left(2^{n}-1\right)\leq 2(n-1)}$,

mais une preuve qui permettrait de remplacer par ${\displaystyle l(n)}$ l'un des deux « ${\displaystyle n-1}$ » du majorant n'a pas encore été trouvée.