Conjecture de Sumner

La conjecture de Sumner (également appelée conjecture universelle du tournoi de Sumner), nommée ainsi d'après David Sumner, affirme que les tournois sont des graphes universels pour les polyarbres ou, autrement dit, que tout tournoi avec sommet contient tout polyarbre avec sommets comme sous-graphe. Cette conjecture, même si elle est encore ouverte dans le cas général, a été démontré pour toutes les valeurs suffisamment grandes de par Daniela Kühn, Richard Mycroft et Deryk Osthus[1].

Un tournoi à 6 sommets contenant un exemplaire de tout polyarbre à 4 sommets.

Historique

La formulation de cette conjecture en 1971 est attribuée à David Sumner, un théoricien des graphes à l'université de Caroline du Sud[2]. La conjecture a été prouvée pour les valeurs assez grandes de par Daniela Kühn, Richard Mycroft et Deryk Osthus[3],[1].

Un exemple

Soit le graphe étoile à sommets, dans lequel tous les arcs sont orientés depuis le sommet central vers les feuilles. Alors, ne peut pas être plongé comme sous-graphe dans le tournoi formé à partir des sommets d'un polygone à sommets dont les arêtes sont orientées dans le sens des aiguilles d'une montre autour du polygone. En effet, dans un tel tournoi, tout sommet a un degré entrant et un degré sortant égal à , tandis que le sommet central de a un degré supérieur à [4]. Ainsi la conjecture de Sumner, si elle est prouvée, donne la plus petite taille possible d'un graphe universel pour les polyarbres.

Cependant, dans un tournoi à sommets, le degré sortant moyen est , et le degré sortant maximal est un nombre entier supérieur ou égal à la moyenne. Il existe donc un sommet de degré sortant , qui peut être utilisé comme sommet central pour une copie de .

Résultats complémentaires

Les résultats suivants sur la conjecture ont été prouvés.

  • Il existe une fonction avec taux de croissance asymptotique avec la propriété que tout polyarbre à sommets peut être plongé comme sous-graphe dans tout tournoi à sommets. De plus, on a la majoration [5].
  • Il existe une fonction telle que les tournois sur les sommets sont universels pour les polyarbres à feuilles[6].
  • Il existe une fonction telle que tout polyarbre à sommets de degré au plus peut être plongé comme sous-graphe dans tout tournoi à sommets. Lorsque est une constante fixe, le taux de croissance asymptotique de est [3].
  • Tout tournoi « quasi régulier » sur sommets contient chaque polyarbre à sommets[7].
  • Tout graphe chenille orienté à sommets de diamètre au plus 4 peut être plongé comme sous-graphe dans tout tournoi à sommets[7].
  • Tout tournoi à sommets contient comme sous-graphe toute arborescence à sommets[8].

Conjectures associées

(Rosenfeld 1972) a conjecturé que toute orientation d'un graphe chemin à sommets peut être plongé comme un sous-graphe dans tout graphe à sommets. Après des résultats partiels de (Thomason 1986), elle a été prouvée par (Havet et Thomassé 2000a).

Havet et Thomassé[9] à leur tour ont conjecturé un renforcement de la conjecture de Sumner, dans laquelle tout tournoi sur sommets contient comme sous-graphe tout polyarbre avec au plus feuilles. Cela a été confirmé pour presque tous les arbres par Mycroft et (Naia 2018).

(Burr 1980) a conjecturé que si une coloration d'un graphe requiert au moins couleurs, alors toute orientation de contient toute orientation d'un arbre à sommets. Comme les graphes complets nécessitent une couleur différente pour chaque sommet, la conjecture de Sumner découle immédiatement de la conjecture de Burr[10]. Comme l'a montré Burr, les orientations des graphes dont le nombre chromatique croît quadratiquement en fonction de sont universelles pour les polyarbres.

Notes et références
  1. Kühn, Mycroft et Osthus (2011b).
  2. Les mentions les plus anciennes de cette conjectures sont attribuées par (Kühn, Mycroft et Osthus 2011a) à (Reid et Wormald 1983) et (Wormald 1983). (Wormald 1983) lui-même cite la conjecture comme étant une communication orale par Sumner, sans date.
  3. Kühn, Mycroft et Osthus (2011a).
  4. Cet exemple est tiré de (Kühn, Mycroft et Osthus 2011a).
  5. (Kühn, Mycroft et Osthus 2011a) et (El Sahili 2004). D'autres bornes plus faibles et antérieures pour ont été données par (Chung 1981), (Wormald 1983), (Häggkvist et Thomason 1991), (Havet et Thomassé 2000b), et (Havet 2002).
  6. (Häggkvist et Thomason 1991); (Havet et Thomassé 2000a); (Havet 2002).
  7. Reid et Wormald 1983.
  8. Havet et Thomassé (2000b).
  9. Dans (Havet 2002), mais attribué conjointement à Thomassé dans l'artice.
  10. Cette version correcte de la conjecture est de (Wormald 1983).

Bibliographie
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