Conjecture jacobienne

Pour N > 1, soient N polynômes F_i (pour 1 ≤ i ≤ N) dans les variables X₁, …, X_N, et dont les coefficients appartiennent à un corps algébriquement clos k (on peut en fait supposer que k = C, le corps des nombres complexes). Considérons cette suite de polynômes comme une fonction vectorielle F: k^N → k^N dont les composantes sont les F_i . Le jacobien J de F est par définition le déterminant de la matrice jacobienne N × N formée des dérivées partielles des F_i par rapport aux X_j : ${\displaystyle J=\det \left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}\right).}$ J est lui-même une fonction des N variables X₁, … , X_N ; et même une fonction polynomiale.

La condition J ≠ 0 assure (pour des fonctions régulières, et donc en particulier pour des polynômes) l'existence d'un inverse local pour F (c'est le théorème des fonctions implicites) en chaque point où elle est vérifiée. Comme k est algébriquement clos, et que J est un polynôme, J s'annule pour certaines valeurs des X₁, …, X_N, sauf si J est constante. On en déduit facilement que :

Si F possède une fonction inverse (globale), c'est-à-dire s'il existe G : k^N → k^N telle que G∘F = F∘G = identité (de k^N ), alors J est une constante non nulle.

La conjecture jacobienne affirme que sur tout corps de caractéristique 0, la réciproque (un peu renforcée) suivante est vraie :

Si J est une constante non nulle et si k est un corps de caractéristique 0, alors F admet un inverse G : k^N → k^N, et G est régulière, c'est-à-dire que ses composantes sont données par des polynômes.

En 1980, Wang[1] démontra la conjecture jacobienne pour les polynômes de degré 2, et en 1982, Bass, Connell et Wright[2] démontrèrent que le cas général est conséquence du cas particulier des polynômes de degré 3. La conjecture a été vérifiée par Moh[3] pour les polynômes à deux variables de degré au plus 100.

La conjecture jacobienne est équivalente à la conjecture de Dixmier (en)[4].