Équation de continuité

Cette écriture est la plus générale et la plus répandue:

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho \ {\vec {U}}\right)=0.}$$

En faisant intervenir la notion de dérivée particulaire, on a l'écriture équivalente suivante :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {U}}\right)=0.}$$

Cette formulation permet l'étude d'un "bloc" de fluide ${\displaystyle \Omega (t)}$ pouvant éventuellement se déformer au cours du temps. Elle traduit le fait que la masse du fluide enfermé dans le volume ${\displaystyle \Omega (t)}$ est constante, soit

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega (t)}\rho \left({\vec {x}},t\right)\ \mathrm {d} \Omega (t)=0.}$$

Dans le cas où la masse volumique est constante au cours du temps et uniforme dans l'espace (écoulement incompressible), l'équation de conservation se réduit à ${\textstyle {\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {U}}\right)=0}$.

Lorsque le composé étudié est constitué de deux parties du fluide différentes (soit dans ${\displaystyle \Omega _{1}}$ et ${\displaystyle \Omega _{2}}$), séparées par une interface ${\displaystyle \Gamma (t)}$ se déplaçant à une vitesse de propagation locale ${\displaystyle {\vec {W}}\left({\vec {x}},t\right)}$, la conservation de la masse s'exprime par la relation suivante :

$${\displaystyle \left[\rho \left({\vec {U}}-{\vec {W}}\right)\cdot {\vec {n}}\right]=0,}$$

où ${\displaystyle [f]=f\mid _{\Omega _{2}\cap \Gamma (t)}-f\mid _{\Omega _{1}\cap \Gamma (t)}}$ où ${\displaystyle f\mid _{\Omega _{i}\cap \Gamma (t)}}$ est la valeur du fluide dans ${\displaystyle \Omega _{i}}$ proche de l'interface ${\displaystyle \Gamma (t)}$ et ${\displaystyle {\vec {n}}}$ est le vecteur normal extérieur à ${\displaystyle \Omega _{1}\cap \Gamma (t)}$. Ceci est à la base des relations de Rankine-Hugoniot.

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