Constante d'Hermite

En géométrie des nombres, la constante d'Hermite $γ n$ , nommée d'après le mathématicien Charles Hermite, est définie de la manière suivante pour tout entier $n > 0$ . Étant donné un réseau L, on note λ₁(L) la norme d'un plus court vecteur non nul de L. Alors $\sqrt γ n$ est le maximum de λ₁(L) sur tous les réseaux L de covolume 1 de l'espace euclidien Rⁿ.

La constante d'Hermite est liée à la densité maximale Δ_n d'un empilement régulier d'hypersphères par la relation :

\gamma _{n}=4\left({\frac {\Delta _{n}}{V_{n}}}\right)^{2/n}

où

V_{n}={\pi ^{n/2} \over \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}

est le volume de l'hypersphère unité de dimension n, exprimé ici à l'aide de la fonction gamma.

La suite des $γ n$ est d'ordre de croissance linéaire, mais on ne sait pas si c'est une suite croissante.

Valeurs connues

La valeur exacte de $γ n$ est connue seulement pour n ≤ 8 et n = 24[1]^,[2].

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	24
$γ n n$	1	4/3	2	4	8	64/3	64	2⁸	4²⁴

La valeur $\gamma _{2}={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}$ est atteinte par le réseau des entiers d'Eisenstein. La valeur $\gamma _{24}=4$ est atteinte par le réseau de Leech.

Encadrement

Pour les autres dimensions, on sait encadrer la constante $γ n$ en fonction du volume $V n$ de l'hypersphère, en utilisant le théorème de Minkowski pour la majoration et celui de Minkowski-Hlawka (en) pour la minoration[3] :

V_{n}^{-2/n}<\left({\frac {2\zeta (n)}{V_{n}}}\right)^{2/n}\leq \gamma _{n}\leq 4V_{n}^{-2/n}

.

Le majorant $4V_{n}^{-2/n}$ est inférieur à $n$ pour tout $n$ et équivalent à ${\frac {2n}{\pi \mathrm {e} }}$ quand $n$ tend vers l'infini (d'après l'expression ci-dessus de $V n$ et la formule de Stirling), mais il existe une majoration asymptotique bien plus fine[4] :

\gamma _{n}\leq {\frac {1{,}744n}{2\pi \mathrm {e} }}+o(n)

.

La minoration (valide seulement pour $n > 1$ ) implique que $\gamma _{n}>{\frac {n}{2\pi \mathrm {e} }}$ pour $n$ assez grand.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hermite constant » (voir la liste des auteurs).

Suite A007361 de l'OEIS.
Démonstration pour n = 6, 7 et 8 : (en) N. M. Vetčinkin, « Uniqueness of classes of positive quadratic forms on which values of the Hermite constant are attained for 6 ≤ n ≤ 8 », Proc. Steklov Inst. Math., AMS, vol. 152, n^o 3 (The Geometry of Positive Quadratic Forms),‎ 1983, p. 37-95 (lire en ligne) (publié en russe en 1980), Theorem 1 (Blichfeldt (de)'s theorem).
(en) John Milnor et Dale Husemöller (de), Symmetric Bilinear Forms, Springer, 1973 (lire en ligne), p. 31 et 17.
(en) John Horton Conway et Neil Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer, 1999, 3^e éd. (1^re éd. 1993) (lire en ligne), p. 20.

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[1] Suite A007361 de l'OEIS.

[2] Démonstration pour n = 6, 7 et 8 : (en) N. M. Vetčinkin, « Uniqueness of classes of positive quadratic forms on which values of the Hermite constant are attained for 6 ≤ n ≤ 8 », Proc. Steklov Inst. Math., AMS, vol. 152, n^o 3 (The Geometry of Positive Quadratic Forms),‎ 1983, p. 37-95 (lire en ligne) (publié en russe en 1980), Theorem 1 (Blichfeldt (de)'s theorem).

[3] (en) John Milnor et Dale Husemöller (de), Symmetric Bilinear Forms, Springer, 1973 (lire en ligne), p. 31 et 17.

[4] (en) John Horton Conway et Neil Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer, 1999, 3^e éd. (1^re éd. 1993) (lire en ligne), p. 20.