Algèbre sur un corps

En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A, +, ·, ×) telle que :

(A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ;
la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ;
la loi × est bilinéaire.

Définitions

Une algèbre sur un corps commutatif K est un K-espace vectoriel A muni d'une opération binaire × (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A) bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :

(x + y) × z = x × z + y × z ;
x × (y + z) = x × y + x × z ;
(a x) × (b y) = (a b) (x × y).

Les deux premières égalités traduisent la distributivité de la loi × par rapport à la loi +.

On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Un morphisme entre deux algèbres A et B sur K est une application f : A → B telle que

∀x, y ∈ A, ∀a ∈ K, f(x × y) = f(x) × f(y) et f(x + ay) = f(x) + af(y).

Deux algèbres A et B sur K sont dites isomorphes s'il existe une bijection de A dans B qui soit un morphisme d'algèbres.

Généralisation

Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A.

Algèbres associatives, algèbres commutatives et algèbres unifères

Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une algèbre associative sur un corps.
Une algèbre commutative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est commutative.
Une algèbre unifère[1] est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × admet un élément neutre, noté $1$ .

Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps

Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel[2].

Si $a=(a_{k})_{k\in I}$ est une base de A, il existe alors une unique famille $(c_{i,j}^{k})_{i,j,k\in I}$ d'éléments du corps K tels que :

\displaystyle a_{i}\times a_{j}=\sum _{k\in I}c_{i,j}^{k}a_{k}.

Pour $i$ et $j$ fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que $(c_{i,j}^{k})_{i,j,k\in I}$ sont les constantes de structure[2] de l'algèbre A par rapport à la base $a$ , et que les relations $a_{i}\times a_{j}=\sum _{k\in I}c_{i,j}^{k}a_{k}$ constituent la table de multiplication de l'algèbre A[2] pour la base $a$ .

Exemple d'algèbre de dimension infinie

Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb {C}}$ . L'ensemble des fonctions analytiques dans $U$ est une ${\mathbb {C}}$ -algèbre.

Exemples d'algèbres de dimension finie

Nombres complexes

L'ensemble des nombres complexes (ℂ, + , ·, × ) est une ℝ-algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2. Une base de l'algèbre ℂ est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

	1	i
1	1 × 1 = 1	1 × i = i
i	i × 1 = i	i × i = –1

Corps finis

Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier (F_p = ℤ/pℤ), donc son ordre est pⁿ.

Par exemple le corps fini F₄ est une algèbre de dimension 2 sur le corps F₂ = ℤ/2ℤ dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

	1	a
1	1 × 1 = 1	1 × a = a
a	a × 1 = a	a × a = 1 + a

Algèbres quadratiques

On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative[3]. Sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme :

	1	x
1	1 × 1 = 1	1 × x = x
x	x × 1 = x	x × x = a1 + bx

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type pouvant dépendre de la base choisie).

Par exemple : ℂ est une ℝ-algèbre quadratique de type (–1, 0) pour la base (1, i) et F₄ est une F₂-algèbre quadratique de type (1, 1).

Matrices carrées

L'ensemble $\left({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} ),+,\cdot ,\times \right)$ des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension n².

Quaternions

L'ensemble (ℍ, + , ·, × ) des quaternions est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.

	1	i	j	k
1	1 × 1 = 1	1 × i = i	1 × j = j	1 × k = k
i	i × 1 = i	i × i = –1	i × j = k	i × k = –j
j	j × 1 = j	j × i = –k	j × j = –1	j × k = i
k	k × 1 = k	k × i = j	k × j = –i	k × k = –1

Biquaternions

L'ensemble $\scriptstyle (\mathbb {B} ,+,\cdot ,\times )$ des biquaternions est une ℂ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre $\left({\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} ),+,\cdot ,\times \right)$ des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients complexes.

Algèbre unifère non associative

L'ensemble des octonions $\scriptstyle (\mathbb {O} ,+,\cdot ,\times )$ est une ℝ-algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.

Produit vectoriel

L'espace euclidien ℝ³ muni du produit vectoriel, $(\mathbb {R} ^{3},+,\cdot ,\wedge )$ , est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.

La table de multiplication dans une base orthonormale directe ( ${\vec {u}}$ , ${\vec {v}}$ , ${\vec {w}}$ ) est :

	${\vec {u}}$	${\vec {v}}$	${\vec {w}}$
${\vec {u}}$	${\vec {u}}\wedge {\vec {u}}={\vec {0}}$	${\vec {u}}\wedge {\vec {v}}={\vec {w}}$	${\vec {u}}\wedge {\vec {w}}=-{\vec {v}}$
${\vec {v}}$	${\vec {v}}\wedge {\vec {u}}=-{\vec {w}}$	${\vec {v}}\wedge {\vec {v}}={\vec {0}}$	${\vec {v}}\wedge {\vec {w}}={\vec {u}}$
${\vec {w}}$	${\vec {w}}\wedge {\vec {u}}={\vec {v}}$	${\vec {w}}\wedge {\vec {v}}=-{\vec {u}}$	${\vec {w}}\wedge {\vec {w}}={\vec {0}}$

Crochet de Lie

L'ensemble des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels, muni du crochet de Lie : $[M,N]=MN-NM$ , $\left({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} ),+,\cdot ,[,]\right)$ est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension n². Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.

Contre-exemple

La ℝ-algèbre (ℍ, + , ·, × ) des quaternions est un ℂ-espace vectoriel, mais n'est pas une ℂ-algèbre car la multiplication × n'est pas ℂ-bilinéaire : $i\cdot(j \times k) \neq j \times (i\cdotk)$ .

Voir aussi

Notes et références

N. Bourbaki, Théories spectrales (lire en ligne), chap. 1, p. 1.
N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 10.
N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 13, proposition 1.

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[1] N. Bourbaki, Théories spectrales (lire en ligne), chap. 1, p. 1.

[bourbakiIIIp10-2] N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 10.

[3] N. Bourbaki, Algèbre, chapitre III, p. 13, proposition 1.