Coordonnées de Painlevé-Gullstrand

Les coordonnées de Painlevé-Gullstrand sont notées cT, r, θ, φ[1].

La coordonnées de temps (T) est le temps propre mesuré par un observateur en chute libre radiale depuis l'infini et sans vitesse initiale[2]. Elle est reliée à la coordonnée de temps (t) de Schwarzschild par[3] :

${\displaystyle cT=ct+2R_{\mathrm {S} }\left[{\sqrt {\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}}+{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {{\sqrt {\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}}-1}{{\sqrt {\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}}+1}}\right)\right]}$,

où :

• ${\displaystyle c}$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
• ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ est le rayon de Schwarzschild, où ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle M}$ sont respectivement la constante de Newton et la masse ;
• ${\displaystyle \ln }$ est le logarithme naturel.

Les trois coordonnées d'espace (r, θ, φ) sont celles (r, θ, φ) de Schwarzschild[2].

En coordonnées de Painlevé-Gullstrand, la métrique de Schwarzschild s'écrit[4] :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-c^{2}\mathrm {d} T^{2}+\left(\mathrm {d} r+{\sqrt {\frac {R_{\mathrm {S} }}{r}}}c\mathrm {d} T\right)^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$,

où :

• ${\displaystyle R_{\mathrm {S} }}$ est le rayon de Schwarzschild ;
• ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}}$

En unités géométriques, elle s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} T^{2}+\left(\mathrm {d} r+{\sqrt {\frac {2m}{r}}}\mathrm {d} T\right)^{2}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}}$,

où, par définition, ${\displaystyle c=1}$, ${\displaystyle G=1}$ et ${\displaystyle m=GMc^{-2}}$

Les éponymes des coordonnées de Painlevé-Gullstrand sont le mathématicien et homme politique français Paul Painlevé (1863-1933) et le physicien et ophtalmologue suédois Allvar Gullstrand (1862-1930)[5].

Leur intérêt est qu'historiquement, il s'agit du premier système de coordonnées découvert grâce auquel la métrique de Schwarzschild n'est pas singulière en ${\displaystyle r=2GMc^{-2}}$[6].