Corps euclidien

En algèbre, un corps euclidien est un corps totalement ordonné dans lequel tout élément positif est un carré.

Ne doit pas être confondu avec Anneau euclidien.

Propriétés

Exemples

Contre-exemples

Clôture euclidienne

Soit K un corps ordonné. Une clôture euclidienne de K est un corps euclidien contenant K et minimal pour cette propriété[4]. Les clôtures euclidiennes de K sont les sous-corps de codimension 2 de sa clôture quadratique K2 et sont isomorphes (en tant que corps ordonnés)[4],[5] ; ce sont aussi les intersections de K2 avec les clôtures réelles de K[4], ou encore, les extensions de corps ordonné de K maximales parmi les sous-corps de K2[6].

Pour toute partie non vide M de ℝ, la clôture euclidienne du corps ℚ(M) engendré par M est l'ensemble des longueurs constructibles à la règle et au compas à partir de celles appartenant à M. La clôture euclidienne d'un sous-corps K de ℝ est la réunion de tous les corps obtenus à partir de K par une tour d'extensions quadratiques réelles.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euclidean field » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) George E. Martin, Geometric Constructions, Springer, coll. « Undergraduate Texts in Mathematics », , 206 p. (ISBN 978-0-387-98276-2), p. 89.
  2. (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 67), (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 270.
  3. Martin 1998, p. 35-36.
  4. Lam 2005, p. 245-246.
  5. (de) Eberhard Becker (de), « Euklidische Körper und euklidische Hüllen von Körpern », J. reine angew. Math., vol. 268/269, , p. 41-52 (lire en ligne).
  6. (en) Ido Efrat, Valuations, orderings, and Milnor K-theory, AMS, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (no 124), , 288 p. (ISBN 978-0-8218-4041-2, lire en ligne), p. 177
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