Correspondance de Robinson-Schensted-Knuth

La correspondance de Robinson-Schensted est une bijection entre permutations et paires de tableaux de Young standard de même forme. Cette bijection peut être construite au moyen d'un algorithme appelé l'insertion de Schensted. Cet algorithme commence avec un tableau ${\displaystyle P}$ vide et insère successivement les valeurs ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}}$ de la permutation ${\displaystyle \sigma }$, avec ${\displaystyle \sigma }$ donnée sous forme fonctionnelle :

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\ldots &n\\\sigma _{1}&\sigma _{2}&\ldots &\sigma _{n}\end{pmatrix}}}$.

Le tableau ${\displaystyle P}$ obtenu est le premier de la paire correspondant à ${\displaystyle \sigma }$; le deuxième tableau standard, noté ${\displaystyle Q}$, enregistre les formes successives parcourues durant la construction de ${\displaystyle P}$.

La construction de Schensted peut en fait prendre en compte des suites de nombres plus générales que celles obtenues par des permutations (notamment on peut autoriser des répétitions); dans ce cas, la construction produit un tableau ${\displaystyle P}$ semi-standard plutôt qu'un tableau standard, mais ${\displaystyle Q}$ reste un tableau standard. La correspondance RSK rétablit la symétrie entre tableaux en produisant un tableau semi-standard pour ${\displaystyle Q}$ aussi.

Une table à deux lignes (« two-line array » en anglais) ou bimot[1] ou permutation généralisée ${\displaystyle w_{A}}$ correspondant à une matrice ${\displaystyle A}$ est définie comme suit[2] est une matrice

${\displaystyle w_{A}={\begin{pmatrix}i_{1}&i_{2}&\cdots &i_{m}\\j_{1}&j_{2}&\cdots &j_{m}\end{pmatrix}}}$

qui vérifie les propriétés suivantes :

• Les colonnes sont ordonnées en ordre lexicographique, ce qui signifie que
  1. ${\displaystyle i_{1}\leq i_{2}\leq i_{3}\leq \cdots \leq i_{m}}$, et
  2. si ${\displaystyle i_{r}=i_{s}}$ et ${\displaystyle r\leq s}$, alors ${\displaystyle j_{r}\leq j_{s}}$.
• pour chaque paire d'indices ${\displaystyle (i,j)}$ de la matrice ${\displaystyle A}$, il y a ${\displaystyle A_{i,j}}$ colonnes égales à ${\displaystyle {\tbinom {i}{j}}}$.

En particulier, l'entier ${\displaystyle m}$ est égal à la somme des coefficients de la matrice ${\displaystyle A}$.

La table à deux lignes correspondant à la matrice :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&0\\1&1&0\end{pmatrix}}}$

est :

${\displaystyle w_{A}={\begin{pmatrix}1&1&1&2&2&3&3\\1&3&3&2&2&1&2\end{pmatrix}}}$

En appliquant l'algorithme d'insertion de Schensted à la deuxième ligne d'une table à deux lignes, on obtient une paire consistant en un tableau semi-standard ${\displaystyle P}$ et un tableau standard noté ${\displaystyle Q_{0}}$. Le tableau ${\displaystyle Q_{0}}$ peut lui aussi être transformé en un tableau semi-standard noté ${\displaystyle Q}$ en remplaçant chaque entrée ${\displaystyle h}$ de ${\displaystyle Q_{0}}$ par la ${\displaystyle h}$-ième entrée de la première ligne de ${\displaystyle w_{A}}$.

On obtient ainsi[3] une bijection des matrices ${\displaystyle A}$ sur des paires ${\displaystyle (P,Q)}$ de tableaux de Young semi-standard de même forme; les coefficients de ${\displaystyle P}$ sont les éléments de la deuxième ligne de ${\displaystyle w_{A}}$, et les coefficients de ${\displaystyle Q}$ sont les éléments de la première ligne de ${\displaystyle w_{A}}$. De plus, le nombre de coefficients de ${\displaystyle P}$ égaux à ${\displaystyle j}$ est égal à la somme des coefficients de la colonne d'indice ${\displaystyle j}$ de ${\displaystyle A}$, et le nombre de coefficients égaux à ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle Q}$ est égal à la somme des coefficients de la ligne d'indice ${\displaystyle i}$ de ${\displaystyle A}$.

Pour l'exemple ci-dessus, si l'on applique l'insertion de Schensted à l'insertion de la suite 1,3,3,2,2,1,2 dans un tableau initialement vide, on obtient un tableau ${\displaystyle P}$, et un tableau ${\displaystyle Q_{0}}$ d'enregistrement des formes successives, qui sont égaux à :

${\displaystyle P\quad =\quad {\begin{matrix}1&1&2&2\\2&3\\3\end{matrix}},\qquad Q_{0}\quad =\quad {\begin{matrix}1&2&3&7\\4&5\\6\end{matrix}}}$.

Après avoir remplacé les entrées 1,2,3,4,5,6,7 dans ${\displaystyle Q_{0}}$ par 1,1,1,2,2,3,3 respectivement, on obtient la paire de tableaux semi-standard suivante :

${\displaystyle P\quad =\quad {\begin{matrix}1&1&2&2\\2&3\\3\end{matrix}},\qquad Q\quad =\quad {\begin{matrix}1&1&1&3\\2&2\\3\end{matrix}}.}$

La définition ci-dessus utilise l'algorithme de Schensted qui produit un tableau d'enregistrement ${\displaystyle Q_{0}}$ standard; ce tableau est modifié ensuite pour tenir compte de la première ligne de la table à deux lignes et obtenir un tableau d'enregistrement semi-standard. Cette définition montre clairement la relation avec la correspondance de Robinson-Schensted. D'un autre côté, il est naturel de simplifier la partie de la construction concernant l'enregistrement de la forme en prenant en compte directement en compte la première ligne de la table à deux lignes. C'est sous cette forme que l'algorithme de construction de la correspondance RSK est habituellement décrit. Cela signifie simplement qu'après chaque étape d'insertion de Schensted, le tableau ${\displaystyle Q}$ est augmenté en ajoutant, comme valeur dans le nouveau carré, l'élément ${\displaystyle i_{h}}$ de la première ligne de ${\displaystyle w_{A}}$, où ${\displaystyle h}$ est la taille courante des tableaux. Le fait que ceci produit toujours un tableau semi-standard est une conséquence de la propriété (observée pour la première fois par Knuth[3]) que lors d'insertions d'une même valeur dans la première ligne de ${\displaystyle w_{A}}$, chaque carré ajouté dans la forme est dans une colonne strictement plus grande que la précédente.

Voici un exemple détaillé de cette construction des deux tableaux semi-standard. On part de la matrice :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&1&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0\\\end{pmatrix}}}$,

et on obtient la table à deux lignes suivante :

${\displaystyle w_{A}={\begin{pmatrix}2&2&3&4&5&6&6&8\\4&6&4&7&5&3&4&1\end{pmatrix}}.}$

La table suivant montre les étapes de la construction des deux tableaux pour cet exemple.

Paire insérée	${\displaystyle {\tbinom {2}{4}}}$	${\displaystyle {\tbinom {2}{6}}}$	${\displaystyle {\tbinom {3}{4}}}$	${\displaystyle {\tbinom {4}{7}}}$	${\displaystyle {\tbinom {5}{5}}}$	${\displaystyle {\tbinom {6}{3}}}$	${\displaystyle {\tbinom {6}{4}}}$	${\displaystyle {\tbinom {8}{1}}}$
${\displaystyle P}$	${\displaystyle {\begin{matrix}4\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}4&6\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}4&4\\6\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}4&4&7\\6\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}4&4&5\\6&7\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}3&4&5\\4&7\\6\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}3&4&4\\4&5\\6&7\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}1&4&4\\3&5\\4&7\\6\end{matrix}}}$
${\displaystyle Q}$	${\displaystyle {\begin{matrix}2\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}2&2\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}2&2\\3\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}2&2&4\\3\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}2&2&4\\3&5\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}2&2&4\\3&5\\6\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}2&2&4\\3&5\\6&6\end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}2&2&4\\3&5\\6&6\\8\end{matrix}}}$

Si A est une matrice de permutation, la correspondance RSK produit une paire de tableaux de Young standard de même forme, disons ${\displaystyle \lambda }$. Réciproquement, si ${\displaystyle P,Q}$ sont de tableaux de Young standard de même forme ${\displaystyle \lambda }$, alors la matrice ${\displaystyle A}$ correspondante est une matrice de permutation. Comme conséquence de cette propriété nous obtenons, simplement en comparant la cardinalité des ensembles ainsi mis en bijection, la propriété suivante :

Soit ${\displaystyle A}$ une matrice à éléments entiers naturels. Supposons que l'algorithme RSK envoie ${\displaystyle A}$ sur ${\displaystyle (P,Q)}$. Alors l'algorithme RSK envoie la matrice transposée ${\displaystyle ^{t}A}$ sur ${\displaystyle (Q,P)}$[2].

Dans le cas particulier des matrices de permutations, on retrouve la symétrie de la correspondance de Robinson-Schensted, à savoir[4] :

Ceci conduit à la relation suivante entre le nombre d'involutions sur ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,n\}}$ et le nombre de tableaux que l'on peut former à partir de ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,n\}}$[4] :

.

Preuve: Soit ${\displaystyle \pi }$ une involution correspondant à la paire ${\displaystyle (P,Q)}$; alors ${\displaystyle \pi ^{-1}=\pi }$ correspond à ${\displaystyle (Q,P)}$, donc ${\displaystyle P=Q}$. Réciproquement, si ${\displaystyle \pi }$ est une permutation correspondant à ${\displaystyle (P,P)}$, alors ${\displaystyle \pi ^{-1}}$ correspond aussi à ${\displaystyle (P,P)}$, et donc ${\displaystyle \pi ^{-1}=\pi }$. Ceci montre la bijection entre involutions ${\displaystyle \pi }$ et tableaux ${\displaystyle P}$.

Le nombre d'involutions sur ${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,n\}}$, et donc le nombre de tableau de Young standard à ${\displaystyle n}$ éléments, est donné par la relation de récurrence :

${\displaystyle a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2)\,}$

avec ${\displaystyle a(1)=1,a(2)=2}$. C'est la suite A00085 de l'OEIS. Elle admet l'expression :

${\displaystyle a(n)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n!}{2^{k}k!(n-2k)!}}}$

Soit ${\displaystyle A}$=${\displaystyle ^{t}A}$ une matrice symétrique. Soit ${\displaystyle (P,P)}$ la paire de tableau de Young semi-standard obtenue par l'algorithme RSK pour ${\displaystyle A}$. Soit ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )}$ le poids (ou le contenu, selon les auteurs) de ${\displaystyle P}$, défini par : ${\displaystyle \alpha _{i}}$ est le nombre de fois que l'entier ${\displaystyle i}$ figure dans ${\displaystyle P}$. Alors[2] l'application

${\displaystyle A\longmapsto P}$

est une bijection entre matrices symétriques vérifiant ${\displaystyle {\text{row}}(A)=\alpha }$ et tableaux de Young semi-standard de poids ${\displaystyle \alpha }$. Ici, ${\displaystyle {\text{row}}(A)}$ est le vecteur dont la ${\displaystyle i}$-ème composante est la somme des éléments de la ${\displaystyle i}$-ème ligne de ${\displaystyle A}$.

Soit ${\displaystyle A}$ la matrice symétrique :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&1\\2&1&0\end{pmatrix}}}$

Un calcul montre que

${\displaystyle P={\begin{matrix}1&1&1&2\\2&3&3\\3\end{matrix}}}$

Le poids de ${\displaystyle P}$ est ${\displaystyle \alpha =(3,2,3)}$, et le vecteur des sommes de lignes de ${\displaystyle A}$ est ${\displaystyle {\text{row}}(A)=(3,2,3)}$.

Soient ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ et ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots }$ des variables. L'identité qui remonte à Cauchy[1] est :

${\displaystyle \prod _{i,j}(1-x_{i}y_{j})^{-1}=\sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda }(y)}$

où les ${\displaystyle s_{\lambda }}$ sont des polynômes de Schur. La définition la plus appropriée ici des polynômes de Schur est

${\displaystyle s_{\lambda }(x)=s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{T}x^{T}=\sum _{T}x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{n}^{t_{n}}}$

où la sommation est sur tous les tableaux de Young semi-standard de forme ${\displaystyle \lambda }$ et où les exposants ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ donnent le poids de ${\displaystyle T}$, en d'autre termes, ${\displaystyle t_{i}}$ compte le nombre d'occurrences de ${\displaystyle i}$ dans ${\displaystyle T}$.

Soient ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \nu }$ deux partitions de l'entier ${\displaystyle n}$. Ici ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \nu }$ sont vus comme ${\displaystyle poids}$, c'est-à-dire comme vecteur d'entiers pas nécessairement décroissants, dont la somme est ${\displaystyle n}$. Alors

${\displaystyle \sum _{\lambda \in {\mathcal {P}}_{n}}K_{\lambda \mu }K_{\lambda \nu }=N_{\mu \nu }}$

où ${\displaystyle K_{\lambda \mu }}$ et ${\displaystyle K_{\lambda \nu }}$ dénotent les nombres de Kostka et ${\displaystyle N_{\mu \nu }}$ est le nombre de matrices ${\displaystyle A}$ à coefficients entiers naturels, avec ${\displaystyle {\text{row}}(A)=\mu }$ et ${\displaystyle {\text{column}}(A)=\nu }$. Ici, ${\displaystyle {\text{column}}(A)}$ est le vecteur dont la ${\displaystyle j}$-ème coordonnée est la somme des éléments de la ${\displaystyle j}$-ème colonne de ${\displaystyle A}$.

• (en) Alain Lascoux, Bernard Leclerc et Jean-Yves Thibon, « The plactic monoid », dans M. Lothaire, Algebraic Combinatorics on Words, CUP, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 90), 2002 (ISBN 978-0-521-81220-7, lire en ligne), p. 164-196
• (en) William Fulton, Young tableaux, CUP, coll. « London Mathematical Society Student Texts » (n^o 35), 1997 (ISBN 978-0-521-56144-0 et 978-0-521-56724-4, Math Reviews 1464693)
• (en) Donald E. Knuth, « Permutations, matrices, and generalized Young tableaux », Pacific Journal of Mathematics, vol. 34,‎ 1970, p. 709–727 (ISSN 0030-8730, Math Reviews 0272654, lire en ligne)
• (en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 3 : Sorting and Searching, Second Edition, Addison-Wesley, 2005 (ISBN 0-201-89685-0, présentation en ligne)
• (en) Bruce E. Sagan, The Symmetric Group : Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics » (n^o 203), 2001, 2^e éd., 240 p. (ISBN 978-0-387-95067-9, lire en ligne)
• (en) Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. 2 [détail des éditions] (présentation en ligne)

(en) Bruce E. Sagan, « Schur functions in algebraic combinatorics », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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