Coupure de Dedekind

En mathématiques, une coupure de Dedekind d'un ensemble totalement ordonné E est un couple (A, B) de sous-ensembles de E, lesquels forment à eux deux une partition de E, et où tout élément de A est inférieur à tout élément de B.

Dedekind introduit les coupures pour représenter les nombres irrationnels.

D'une certaine façon, une telle coupure conceptualise quelque chose qui se trouverait « entre » A et B, mais qui ne serait pas forcément un élément de E.

Les coupures de Dedekind furent introduites par Richard Dedekind comme moyen de construction de l'ensemble des nombres réels (en présentant de manière formelle ce qui se trouve « entre » les nombres rationnels).

Définition

Une coupure de Dedekind d’un ensemble totalement ordonné E se définit par un couple (A, B) de sous-ensembles de E tels que :

A et B sont non vides ;
leur réunion est égale à E ;
tout élément de A est strictement inférieur à tout élément de B ;
si B a une borne inférieure dans E, alors cette borne inférieure est dans B.

Les points 1, 2 et 3 impliquent que A et B réalisent une partition de E. Par conséquent, la donnée de l'un détermine entièrement l'autre.

Le point 3 pose le partage des éléments de E dans ces deux parties. Il est possible de montrer que ce point équivaut à :

$\forall x\in E,(a\in A\land x\leq a\Rightarrow x\in A)$ ;
$\forall y\in E,(b\in B\land y\geq b\Rightarrow y\in B)$ ;
$A\cap B=\varnothing$ .

Le point 4 permet de montrer que l'application qui à chaque élément $x$ de E associe la coupure $(\{a\in E|a<x\},\{b\in E|x\leq b\})$ est une bijection entre E et l'ensemble de ses coupures de Dedekind (A, B) telles que B ait une borne inférieure dans E.

Exemples

Construction des nombres réels

Si E est l'ensemble ℚ des nombres rationnels, on peut considérer la coupure suivante :

A=\{a\in \mathbb {Q} \mid a^{2}<2\lor a\leq 0\},\quad B=\{b\in \mathbb {Q} \mid b^{2}\geq 2\land b>0\}.

Cette coupure permet de représenter le nombre irrationnel √2 qui est ici défini à la fois par l'ensemble des nombres rationnels qui lui sont inférieurs et par celui des nombres rationnels qui lui sont supérieurs.

La prise en compte de toutes les coupures de Dedekind sur ℚ permet une construction de l'ensemble ℝ des nombres réels.

Une reformulation de cette construction est de ne conserver que la composante A des couples (A, B) ci-dessus, c'est-à-dire d'appeler « coupures de Dedekind » toutes les parties propres non vides de ℚ, stables par minorant et ne possédant pas de plus grand élément. Un réel $x$ est alors représenté par l'ensemble A de tous les rationnels strictement inférieurs à $x$ [1]^,[2].

Ordre sur les coupures de Dedekind

On définit un ordre sur l'ensemble des coupures de Dedekind de E en posant, pour toutes coupures de Dedekind (A, B) et (C, D) de E :

(A,B)\leq (C,D)\Leftrightarrow A\subset C.

Il est possible de montrer que l'ensemble des coupures de Dedekind de E muni de cet ordre possède la propriété de la borne supérieure, même si E ne la possède pas. En plongeant E dans cet ensemble, on le prolonge en un ensemble dont toute partie non vide et majorée possède une borne supérieure.

Notes et références

(en) Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, Elsevier, 1977 (lire en ligne), p. 112-120 — Un manuel de premier cycle universitaire en théorie des ensembles, qui ne « préjuge d'aucune formation ». Il est écrit pour accompagner un cours centré sur la théorie axiomatique des ensembles, ou sur la construction des systèmes numériques ; le matériel axiomatique est marqué afin de pouvoir être démystifié (p. xi-xii).
(en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976, 3^e éd. (1^re éd. 1953) (lire en ligne), p. 17-21 — Manuel pour un cours de second cycle universitaire avancé. « L'expérience m'a convaincu qu'il est pédagogiquement malavisé (bien que correct logiquement) de démarrer la construction des réels à partir des rationnels. Au début, la plupart des étudiants ne voient tout simplement pas pourquoi le faire. Donc on introduit le système des réels comme un corps ordonné satisfaisant la propriété de la borne supérieure, et on en montre rapidement quelques propriétés. Cependant la construction de Dedekind n'est pas omise. Elle est mise en appendice du chapitre 1, où elle peut être étudiée et appréciée quand le temps en est venu. » (p. ix).

Voir aussi

Nombre surréel
Complétion de Dedekind-MacNeille (en)

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[1] (en) Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, Elsevier, 1977 (lire en ligne), p. 112-120 — Un manuel de premier cycle universitaire en théorie des ensembles, qui ne « préjuge d'aucune formation ». Il est écrit pour accompagner un cours centré sur la théorie axiomatique des ensembles, ou sur la construction des systèmes numériques ; le matériel axiomatique est marqué afin de pouvoir être démystifié (p. xi-xii).

[2] (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976, 3^e éd. (1^re éd. 1953) (lire en ligne), p. 17-21 — Manuel pour un cours de second cycle universitaire avancé. « L'expérience m'a convaincu qu'il est pédagogiquement malavisé (bien que correct logiquement) de démarrer la construction des réels à partir des rationnels. Au début, la plupart des étudiants ne voient tout simplement pas pourquoi le faire. Donc on introduit le système des réels comme un corps ordonné satisfaisant la propriété de la borne supérieure, et on en montre rapidement quelques propriétés. Cependant la construction de Dedekind n'est pas omise. Elle est mise en appendice du chapitre 1, où elle peut être étudiée et appréciée quand le temps en est venu. » (p. ix).