Courbe du blanc-manger

La fonction blanc-manger est définie sur ℝ par : ${\displaystyle {\rm {blanc}}(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}}}$, où s est définie par ${\displaystyle s(y)=\min _{n\in {\mathbb {Z} }}|y-n|}$, c'est-à-dire que s(y) est la distance entre y et l'entier relatif le plus proche[3].

La série de fonctions définissant blanc(x) pour tout nombre x est normalement convergente donc la fonction blanc-manger est continue (et 1-périodique, donc uniformément continue), mais elle n'est dérivable en aucun point [4]^,[3]. Sa courbe représentative est une fractale (c'est l'attracteur d'un système de fonctions itérées)[5].

La courbe de Takagi–Landsberg en est une généralisation donnée par la relation : ${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$ pour un paramètre w. La valeur H = –log₂(w), où log₂ désigne le logarithme binaire, est appelée le « paramètre de Hurst ».

La courbe du blanc-manger est donc le cas w = 1/2, c'est-à-dire H = 1.

La courbe du blanc-manger peut être construite à partir des fonctions en dents de scie. Sur les illustrations ci-dessous, les fonctions en dents de scie (en rouge) sont progressivement ajoutées à la courbe à chaque étape.

• 
  n = 0
• 
  n ≤ 1
• 
  n ≤ 2
• 
  n ≤ 3

Étant donné que l'intégrale de 0 à 1 de la fonction blanc vaut 1/2, la relation ${\displaystyle {\rm {blanc}}(x)={\rm {blanc}}(2x)/2+s(x)}$ permet de calculer la primitive I s'annulant en 0 : ${\displaystyle I(x)=\int _{0}^{x}{\rm {blanc}}(t)\,{\rm {d}}t.}$

Le calcul est récursif et son temps de calcul est de l'ordre du logarithme de la précision requise. ${\displaystyle I(x)={\begin{cases}1/2+I(x-1)&{\text{si }}x\geq 1\\1/2-I(1-x)&{\text{si }}1/2<x<1\\I(2x)/4+x^{2}/2&{\text{si }}0\leq x\leq 1/2\\-I(-x)&{\text{si }}x<0.\end{cases}}}$

La courbe de Takagi-Landsberg de paramètre de Hurst H a pour dimension de Hausdorff[6] 2 – H.

La dimension de Hausdorff de la courbe du blanc-manger, pour laquelle H = 1, vaut donc 1, malgré son aspect fractal.