Critère d'irréductibilité de Cohn

En arithmétique des polynômes, le critère d'irréductibilité de Cohn est une condition suffisante pour qu'un polynôme à coefficients entiers soit irréductible.

Énoncé

Si un nombre premier $p$ s'écrit en base dix sous la forme
$p=a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\dots +a_{1}10+a_{0}{\text{ avec }}0\leq a_{k}\leq 9$
alors le polynôme
$a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}$
est irréductible dans $\mathbb {Z} [X]$ .

Ce théorème se généralise à d'autres bases : Pour tout entier $b$ ≥ 2, un polynôme de la forme $P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}{\text{ avec }}0\leq a_{k}\leq b-1$ est irréductible dans $\mathbb {Z} [X]$ dès que $P (b)$ est premier.

Notes historiques

La version en base 10 est attribuée à Arthur Cohn[1] – un étudiant d'Issai Schur[2] – par Pólya et Szegő[3] et sa généralisation à une base quelconque $b$ ≥ 2 est due à Brillhart, Filaseta et Odlyzko[4].

En 2002, M. Ram Murty (en) a donné une preuve simplifiée ainsi que des détails historiques sur ce théorème[5], démontrant également la variante suivante : Soit $P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}\in \mathbb {Z} _{m}[X]$ et $H=\max _{0\leq i<m}|a_{i}/a_{m}|$ . S'il existe un entier $b \geq H + 2$ tel que $P (b)$ est premier, alors $P$ est irréductible sur ℤ.

Démonstration

Raisonnons par contraposition, en supposant $P$ réductible et en montrant qu'alors, pour tout entier $b \geq H + 2$ , $P (b)$ est composé.

Soient donc $Q,R\in \mathbb {Z} [X]\setminus \{-1,0,1\}$ tels que $P = QR$ .

Si $Q$ n'est pas constant alors $Q=c\prod _{i}(X-\alpha _{i})$ avec, puisque chaque $\alpha _{i}$ est une racine de $P$ , $|\alpha _{i}|<H+1$ (cf. Racine d'un polynôme réel ou complexe#Une première estimation) donc $|Q(b)|\geq \prod _{i}(b-|\alpha _{i}|)>\prod _{i}(H+2-H-1)=1$ .
Si $Q$ est constant alors $Q\in \mathbb {Z} \setminus \{-1,0,1\}$ et l'on a évidemment encore $| Q (b)| > 1$ .

Même raisonnement pour $R$ , donc $P (b) = Q (b) R (b)$ avec $| Q (b)|, | R (b)| > 1$ .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cohn's irreducibility criterion » (voir la liste des auteurs).

Ne pas confondre avec Paul Cohn.
(en) « Arthur Cohn », sur le site du Mathematics Genealogy Project.
(de) George Pólya et Gábor Szegő, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, vol. II, Springer, 1971, 4^e éd. (1^re éd. 1925) (lire en ligne), p. 351 – traduction : (en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, vol. II, Springer, 1976 (lire en ligne), p. 330.
(en) John Brillhart, Michael Filaseta et Andrew Odlyzko, « On an irreducibility theorem of A. Cohn », CJM, vol. 33, n^o 5,‎ 1981, p. 1055-1059 (lire en ligne).
(en) M. Ram Murty, « Prime numbers and irreducible polynomials », Amer. Math. Month., vol. 109, n^o 5,‎ 2002, p. 452-458 (lire en ligne [dvi]).

Articles connexes

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[1] Ne pas confondre avec Paul Cohn.

[2] (en) « Arthur Cohn », sur le site du Mathematics Genealogy Project.

[3] (de) George Pólya et Gábor Szegő, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, vol. II, Springer, 1971, 4^e éd. (1^re éd. 1925) (lire en ligne), p. 351 – traduction : (en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, vol. II, Springer, 1976 (lire en ligne), p. 330.

[4] (en) John Brillhart, Michael Filaseta et Andrew Odlyzko, « On an irreducibility theorem of A. Cohn », CJM, vol. 33, n^o 5,‎ 1981, p. 1055-1059 (lire en ligne).

[5] (en) M. Ram Murty, « Prime numbers and irreducible polynomials », Amer. Math. Month., vol. 109, n^o 5,‎ 2002, p. 452-458 (lire en ligne [dvi]).