Critère d'irréductibilité de Cohn

En arithmétique des polynômes, le critère d'irréductibilité de Cohn est une condition suffisante pour qu'un polynôme à coefficients entiers soit irréductible.

Énoncé

Si un nombre premier p s'écrit en base dix sous la forme

alors le polynôme

est irréductible dans .

Ce théorème se généralise à d'autres bases : Pour tout entier b ≥ 2, un polynôme de la formeest irréductible dans dès que P(b) est premier.

Notes historiques

La version en base 10 est attribuée à Arthur Cohn[1] – un étudiant d'Issai Schur[2] – par Pólya et Szegő[3] et sa généralisation à une base quelconque b ≥ 2 est due à Brillhart, Filaseta et Odlyzko[4].

En 2002, M. Ram Murty (en) a donné une preuve simplifiée ainsi que des détails historiques sur ce théorème[5], démontrant également la variante suivante : Soit et . S'il existe un entier bH + 2 tel que P(b) est premier, alors P est irréductible sur ℤ.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cohn's irreducibility criterion » (voir la liste des auteurs).
  1. Ne pas confondre avec Paul Cohn.
  2. (en) « Arthur Cohn », sur le site du Mathematics Genealogy Project.
  3. (de) George Pólya et Gábor Szegő, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, vol. II, Springer, , 4e éd. (1re éd. 1925) (lire en ligne), p. 351 – traduction : (en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, vol. II, Springer, (lire en ligne), p. 330.
  4. (en) John Brillhart, Michael Filaseta et Andrew Odlyzko, « On an irreducibility theorem of A. Cohn », CJM, vol. 33, no 5, , p. 1055-1059 (lire en ligne).
  5. (en) M. Ram Murty, « Prime numbers and irreducible polynomials », Amer. Math. Month., vol. 109, no 5, , p. 452-458 (lire en ligne [dvi]).

Articles connexes

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