Cyclotron

Un cyclotron est un appareil constitué de trois éléments principaux :

1. une chambre à vide de forme cylindrique (une sorte de boite de camembert) dont le diamètre est beaucoup plus grand que la hauteur, disposée horizontalement, où circulent les particules chargées sur des trajectoires circulaires.
2. des électrodes en forme de demi-cylindres ou D, appelées les Dés (ou Dees en anglais), placées à l'intérieur de la chambre à vide et alimentées en haute tension par un oscillateur électrique à haute fréquence.
3. un électro-aimant puissant délivrant un champ magnétique constant, perpendiculaire au plan de la trajectoire des particules chargées, et uniforme sur toute la surface de la chambre à vide.

À ce dispositif, il faut ajouter :

• une ou plusieurs sources de particules chargées qui sont introduites à faible énergie au centre de la chambre à vide.
• une ou plusieurs sorties dans des lignes de faisceau qui dirigent les particules accélérées vers leurs cibles.
• une système de pompe à vide qui maintient l'ensemble des espaces de circulation des ions sous un vide poussé.
• suivant la configuration des systèmes de réfrigération qui refroidissent l'aimant aussi bien que les Dés.

Le fonctionnement d'un cyclotron est présenté en animation dans la référence[4].

Des particules de masse ${\displaystyle m\;}$, de charge ${\displaystyle q\,}$ et de vitesse ${\displaystyle v\;}$, circulant sur une trajectoire circulaire de rayon ${\displaystyle r\,}$, sont soumises à deux forces antagonistes, la force centrifuge ${\displaystyle F_{C}\;}$.

Schéma de principe du cyclotron.

${\displaystyle F_{C}={mv^{2} \over r}\;}$

et la force centripète créée par la force de Lorentz du champ magnétique ${\displaystyle B\,}$.

${\displaystyle F_{B}=qvB\;}$

D'après le principe fondamental de la dynamique, ${\displaystyle F_{C}\;}$= ${\displaystyle F_{B}\,}$ donc :

${\displaystyle mv=qBr\;}$

Il découle de cette équation que:

• Le rayon (gyroradius) de la trajectoire des particules est :

${\displaystyle r={mv \over qB}\;}$

• La pulsation ${\displaystyle {\omega _{c}}={\frac {v}{r}}\;}$ et la fréquence de rotation des particules ${\displaystyle f_{c}={\frac {\omega _{c}}{2\pi }}\;}$ sont indépendantes du rayon de la trajectoire et de la vitesse linéaire des particules :

${\displaystyle f_{c}={\frac {v}{2\pi r}}={\frac {qB}{2\pi m}}\;}$

La fréquence ${\displaystyle f_{c}\;}$est appelée fréquence cyclotron. Elle ne dépend que du champ magnétique et du type de particule accélérée. La fréquence du champ électrique alternatif ${\displaystyle f_{e}\;}$appliquée aux Dés est fixée sur la fréquence cyclotron: ${\displaystyle f_{e}=f_{c}\;}$. De cette façon, à chaque demi-tour, les particules reçoivent une impulsion d'accélération lorsqu'elles passent entre les Dés, leur vitesse augmente et le rayon de leur trajectoire augmente, mais le temps de parcours d'une orbite reste constant et égal à la période de rotation ${\displaystyle T_{c}={\frac {1}{f_{c}}}\;}$. C'est pourquoi le cyclotron est dit isochrone.

• La vitesse maximale ${\displaystyle v_{max},}$ est atteinte lorsque les particules circulent à la périphérie des Dés, c'est-à-dire lorsque ${\displaystyle r\;=\;R}$:

${\displaystyle v_{max}={qBR \over m}\,}$

• L'énergie cinétique des particules à la sortie du cyclotron est :

${\displaystyle E_{C}={1 \over 2}mv_{max}^{2}={\frac {q^{2}B^{2}R^{2}}{2m}}\;}$

Pour une particule de masse donnée, l'énergie dépend de l'intensité du champ magnétique et du diamètre des pôles de l'aimant délimitant la surface traversée par le champ magnétique. Pour un électroaimant ferromagnétique, le champ est limité à 2 T. Pour obtenir des énergies élevées, il faut donc construire des aimants de grand diamètre. C'est ainsi que Lawrence a construit une série de cyclotrons de plus en plus grands, jusqu'à atteindre 4.40 m de diamètre, en 1942.

Le synchrocyclotron du centre de Protonthérapie d'Orsay.

Dans le synchrocyclotron, la fréquence ${\displaystyle f_{e}}$ du champ électrique devient ${\displaystyle f_{e}(t)}$, variable avec le temps pour rester égale à ${\displaystyle f_{c}}$ qui diminue lorsque la vitesse linéaire se rapproche de la vitesse de la lumière.

${\displaystyle f_{e}=f_{c}={\frac {f_{0}}{\gamma }}={f_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

De ce fait, le synchrocyclotron opère par séquences. Par exemple, le synchrocyclotron SC200 d'Orsay délivre des paquets de protons durant 20 microsecondes toutes les 2.2 millisecondes[5].

Alternativement, pour maintenir l'isochronisme, il faut augmenter l'intensité du champ magnétique avec ${\displaystyle r\,}$. Mais le maintien de la stabilité verticale du faisceau exige au contraire que le champ diminue avec ${\displaystyle r\,}$[6]. En 1938, Llewellyn Thomas propose de résoudre ce dilemme en introduisant des variations spatiales du champ magnétique, tout en maintenant la fréquence ${\displaystyle f_{e}\,}$ du champ électrique d'accélération constante et calée sur la fréquence cyclotron ${\displaystyle f_{0}\,}$ en conditions non-relativistes[7]. Les modifications du champ magnétique introduites par Thomas sont de deux ordres :

• une variation radiale : une augmentation du champ magnétique du centre vers la périphérie du cyclotron compense l'effet relativiste d'augmentation de la masse.

Étant donné le gyroradius ${\displaystyle r={\frac {\gamma m_{0}v}{qB}}}$ et la fréquence cyclotron relativiste ${\displaystyle f_{c}={\frac {f_{0}}{\gamma }}}$, on réalise un champ ${\displaystyle B}$ de telle sorte que, du centre à la périphérie du cyclotron, il varie proportionnellement au facteur de Lorentz, ${\displaystyle B=\gamma B_{0}}$. Dans ces conditions,

${\displaystyle r={\frac {m_{0}v}{qB_{0}}}}$

Le rayon de la trajectoire ne dépend que de la vitesse linéaire ${\displaystyle v}$, comme dans les conditions non-relativistes.

• une modulation azimutale : une alternance de secteurs de champ fort et de champ faible maintient la stabilité transversale des particules sur leur trajectoire spirale[6]. C'est pourquoi ces cyclotrons isochrones sont aussi appelés cyclotrons AVF (azimuthal varying field).

Il est à noter que ces modifications du champ magnétique sont purement spatiales et ne dépendent pas du temps. Le champ B reste statique. La fréquence cyclotron est maintenue constante. Ceci permet d'accélérer les particules de façon continue à chaque période de la radiofréquence du champ électrique, plutôt que par paquets comme dans le synchrocyclotron et dans la plupart des autres accélérateurs. Le principe de variation du champ magnétique, avec des collines et des vallées alternant par secteur, a un fort effet de focalisation[6]. Les cyclotrons AVF permettent d'obtenir des courants de faisceau beaucoup plus intenses que les synchrocyclotrons. C'est pourquoi, tous les cyclotrons modernes utilisent les variations de champ azimutales, même les cyclotrons dont l'énergie des particules restent dans le domaine non-relativiste[5].

Le cyclotron ARRONAX de l'Université de Nantes.

Le cyclotron ARRONAX, installé à l'Université de Nantes en 2007-2008 et mis en service en 2010, est un cyclotron isochrone destiné à la recherche et à la production de radioisotopes pour la médecine[8]. ARRONAX a été conçu pour produire des protons et des particules alpha de 70 MeV. Il est composé d'un électro-aimant qui a été calculé et réalisé pour produire un champ magnétique statique ${\displaystyle B=\gamma B_{0}}$ pour les protons et de quatre pôles-secteurs qui assurent la stabilité transversale des trajectoires. De plus, ces secteurs sont aussi dotés de bobinages qui corrigent radialement le champ magnétique principal pour pouvoir passer de l'accélération des protons à celle des particules alpha tout en conservant l'isochronisme[9].

• Accélérateur de particules
• Cyclotron ARRONAX

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