Développement en série de Engel

On utilisera dans cet article la notation ${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\dotsb =\left]a_{1},a_{2},a_{3},\dots \right[}$[1].

De plus, lorsque x appartient à ${\displaystyle \left]n,n+1\right[}$, on a toujours ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\dots =a_{n}=1}$. On écrira donc plus simplement un réel ${\displaystyle x}$ non entier de cet intervalle sous la forme ${\displaystyle x=n+]a_{n+1},a_{n+2},..[}$ où ${\displaystyle n=\left\lfloor x\right\rfloor }$ est la partie entière de ${\displaystyle x}$ ; on a alors ${\displaystyle a_{n+1}\geqslant 2}$.

Par exemple, le nombre π, situé entre 3 et 4, s'écrit ${\displaystyle \pi =\left]1,1,1,8,8,17,19,300,\dots \right[}$[5]${\displaystyle =3+\left]8,8,17,19,300,\dots \right[}$.

• Un développement par une suite constante correspond à une série géométrique : ${\displaystyle \left]a,a,a,\dots \right[=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over a^{n}}={\frac {1}{a-1}}}$ (pour tout entier ${\displaystyle a\geqslant 2}$).
• Celui du nombre e correspond au développement obtenu à partir de la série entière de l'exponentielle : ${\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$ ; donc ${\displaystyle \mathrm {e} =2+\left]2,3,4,\dots \right[}$.
• Plus généralement, ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mathrm {e} }}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}k!}}=1+\left]n,2n,3n,\dots \right[}$.
• Le nombre ${\displaystyle \sum _{p{\text{ premier}}}{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over {2\times 3}}+{1 \over {2\times 3\times 5}}+\ldots =0{,}70523\ldots }$[6], somme des inverses des primorielles, est le nombre pour lequel la suite ${\displaystyle (a_{n})_{n\geqslant 1}}$ est la suite croissante de nombres premiers.

La somme partielle ${\displaystyle S_{N}={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+\dots +{\frac {1}{a_{1}a_{2}\dots a_{N}}}}$ peut s'écrire après factorisations sous les formes équivalentes suivantes :

${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}{\biggl (}1+{\frac {1}{a_{2}}}{\biggl (}1+\dots +{\frac {1}{a_{N-1}}}{\biggl (}1+{\frac {1}{a_{N}}}{\biggl )}{\biggl )}{\biggl )}={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots {\frac {\displaystyle 1+{\frac {1}{a_{N}}}}{\displaystyle \cdots }}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}}$, fraction continue ascendante,

à comparer avec le développement en fraction continue descendante classique : ${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+\dots +{\cfrac {1}{a_{N}}}}}}}}$ ;

cette expression montre que ${\displaystyle S_{N}}$ peut se calculer à partir de ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{N}}$ avec ${\displaystyle N}$ divisions et ${\displaystyle N}$ additions (les additions consistant juste à ajouter 1).

Le nombre ${\displaystyle x=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$ s'écrit alors ${\displaystyle {\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}}$.

La suite ${\displaystyle (a_{n})}$ s'obtient par l'algorithme suivant, dû à Henry Briggs :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{a_{1}=\lfloor {\frac {1}{x}}\rfloor +1}\\{x_{1}=a_{1}x-1}\end{matrix}}\right.,\left\{{\begin{matrix}{a_{2}=\lfloor {\frac {1}{x_{1}}}\rfloor +1}\\{x_{2}=a_{2}x_{1}-1}\end{matrix}}\right.,\qquad \dotso ,\left\{{\begin{matrix}{a_{n}=\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\rfloor +1}\\{x_{n}=a_{n}x_{n-1}-1}\end{matrix}}\right.,...}$

De sorte que ${\displaystyle x_{n}=\left]a_{n+1},a_{n+2},\dots \right[}$.

On obtient par exemple :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+\left]3,5,5,16,18,78,112,\dots \right[}$, voir la suite A028254 de l'OEIS.

La liste des développements de Engel publiés dans l'OEIS se trouve ici.

Théorème : Le réel x est rationnel si et seulement si la suite ${\displaystyle (a_{n})_{n\geqslant 1}}$ est constante à partir d'un certain rang.

Ceci permet de prouver l’irrationalité de nombres dont on connait un développement du type ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{1}\dots a_{n}}}}$ comme e, ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mathrm {e} }}}$, ${\displaystyle \cosh 1}$, ${\displaystyle \sinh 1}$, ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}}$, ${\displaystyle \sum _{p{\text{ premier}}}{1 \over p\#}}$[4].

• Le réel positif ${\displaystyle x}$ s'écrit aussi de manière unique sous la forme :

  ${\displaystyle x={\frac {1}{b_{1}}}+{\frac {1}{b_{1}b_{2}}}+{\frac {1}{b_{1}b_{2}b_{3}}}+\dotsb +{\frac {1}{b_{1}b_{2}\dotsm b_{n}}}+\dotsb }$,

  où les ${\displaystyle b_{n}}$ forment une suite finie ou infinie croissante (au sens large) d'entiers strictement positifs, mais où l'on s'interdit une suite infinie constante à partir d'un certain rang.

• De plus, ces entiers s'obtiennent en utilisant cette fois la fonction partie entière supérieure ${\displaystyle \lceil .\rceil }$ :

  ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{b_{1}=\lceil {\frac {1}{x}}\rceil }\\{u_{1}=b_{1}x-1}\end{matrix}}\right.,\left\{{\begin{matrix}{b_{2}=\lceil {\frac {1}{u_{1}}}\rceil }\\{u_{2}=b_{2}u_{1}-1}\end{matrix}}\right.,\qquad \dotso ,\qquad \left\{{\begin{matrix}{b_{n}=\lceil {\frac {1}{u_{n-1}}}\rceil }\\{u_{n}=b_{n}u_{n-1}-1}\end{matrix}}\right.\dots }$

  en convenant que si un ${\displaystyle u_{N}}$ est nul, la suite d'entiers s'arrête à ${\displaystyle b_{N}}$.

• Le réel ${\displaystyle x}$ est alors irrationnel si et seulement si la suite des ${\displaystyle b_{n}}$ est infinie, et dans ce cas (par unicité) les deux constructions coïncident.
• Lorsque ${\displaystyle x}$ est rationnel, la suite finie ${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{N})}$ et la suite infinie stationnaire ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...)}$ coïncident jusqu'au rang ${\displaystyle N-1}$, et pour tout ${\displaystyle n\geqslant N}$, ${\displaystyle a_{n}=b_{N}+1}$.

Par exemple : ${\displaystyle {355 \over 113}=3+\left]8,8,17,19,113\right[=3+\left]8,8,17,19,114,114,\dots \right[}$ (à comparer avec le développement de π ci-dessus).

Notons que cet algorithme fournit, pour tout rationnel strictement compris entre 0 et 1, un développement en somme de fractions égyptiennes de dénominateurs distincts. Cette écriture avait été vue par Fibonacci dans son Liber abaci (1202).

Cette formule donne le développement de Engel des nombres quadratiques de la forme : ${\displaystyle a-{\sqrt {a^{2}-1}}}$ où ${\displaystyle a}$ est un entier ${\displaystyle \geqslant 1}$ ;

la suite ${\displaystyle (a_{n})}$ étant définie par ${\displaystyle a_{1}=a}$ et ${\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1}$, on a : ${\displaystyle a-{\sqrt {a^{2}-1}}=\left]2a_{1},2a_{2},\dots \right[=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}a_{1}\dots a_{n}}}}$[1].

Par exemple, ${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}=\left]4,14,194,37634,\dots \right[}$, voir la suite A003010 de l'OEIS.