De la mesure du cercle

Le cercle et le triangle ont la même aire.

« Un cercle quelconque est égal à un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon de ce cercle, et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même cercle[3]. »

Autrement dit : tout cercle de circonférence c et de rayon r a même aire qu'un triangle rectangle de cathètes c et r. Cette proposition est démontrée par exhaustion[4].

« Un cercle est au carré construit sur son diamètre, à très peu de chose près, comme 11 est à 14[3]. »

Autrement dit : le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre est presque celui de 11 à 14. Ou encore : 22/7 est une bonne approximation du nombre π.

Exemples de la manière dont Archimède calcule π. Archimède utilise un polygone de 96 côtés pour son approximation.

« La circonférence d'un cercle quelconque est égale au triple du diamètre réuni à une certaine portion du diamètre, qui est plus petite que le septième de ce diamètre, et plus grande que les 10/71 de ce même diamètre[3]. »

Autrement dit : le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est inférieur à ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{70}}}$ mais supérieur à ${\displaystyle 3+{\tfrac {10}{71}}}$.

Cette proposition revient à fournir un encadrement de π. Archimède a trouvé des majorants et minorants de π en inscrivant et en circonscrivant un cercle à deux polygones réguliers similaires de 96 côtés[5].

Cette proposition contient aussi une approximation supérieure et inférieure de √3 et d'autres approximations supérieures de racines carrées.

${\displaystyle {\tfrac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\tfrac {265}{153}}}$[4]

Cependant, Archimède ne donne pas d'explications sur la manière d'obtenir ces approximations[2].