Des spirales

Archimède commence Des Spirales avec un message adressé à Dositheus de Pelusium mentionnant la mort de Conon comme une perte pour les mathématiques. Il résume ensuite les résultats des traités De la sphère et du cylindre et Sur les conoïdes et les sphéroïdes. Il parle ensuite des résultats Des Spirales.

Spirale d'Archimède

La spirale d'Archimède est d'abord étudiée par Conon. Archimède est capable de trouver plusieurs tangentes à la spirale[2]. Il définit la spirale comme :

« Lorsqu’une [demi] droite tourne uniformément dans un plan pendant que l'une de ses extrémités reste fixe et qu'elle revient à sa position initiale, et si sur cette droite en rotation un point se déplace uniformément à partir du point fixe, le point décrira dans le plan une spirale[3]. »

Manière qu'utilise Archimède pour réaliser la trisection de l'angle dans Des Spirales.

Pour réaliser la trisection de l'angle, Archimède procède comme suit :

« L'angle ABC doit être partagé en trois. Soit le point D tel que BD soit le tiers de BC. Dessiner un cercle de centre et de rayon BD. Le cercle coupe la spirale au point E. L'angle ABE est le tiers de l'angle ABC[4]. »

Le cercle et le triangle ont la même aire.

Archimède donne les instructions suivantes :

« Soit P le point de la spirale de centre O après le premier tour. La tangente à P coupe la ligne perpendiculaire à OP en T. OT est la longueur de la circonférence du cercle de rayon OP. »

Archimède a déjà montré dans De la mesure du cercle que « tout cercle équivaut au triangle rectangle pour lequel on a le rayon égal à l'un des côtés adjacents à l'angle droit et le périmètre égal à la base ». Donc l'aire du cercle de rayon OP est égale à l'aire du rectangle OPT[5].