Deuxième théorème de Minkowski

Le deuxième théorème de Minkowski est un résultat de géométrie des nombres sur les minima successifs d'un réseau, relativement à un convexe.

Minima successifs

Dans ℝⁿ, soient Γ un réseau et K un convexe compact symétrique par rapport à l'origine et de volume non nul. Les n minima successifs λ₁ ≤ λ₂ ≤ … ≤ λ_n de Γ relativement à K sont définis par : λ_j est le plus petit réel λ pour lequel λK (la boule fermée de centre 0 et de rayon λ pour la norme égale à la jauge de K) contient j vecteurs de Γ linéairement indépendants.

Exemples

Par un changement de variables linéaire, on peut toujours se ramener au cas où le réseau Γ est ℤⁿ. Alors, vol(ℝⁿ/Γ) = 1 et :

pour K = [–1, 1]ⁿ (boule unité pour la norme ℓ^∞), λ₁ = … = λ_n = 1 et vol(K) = 2ⁿ ;
pour K = {x ∈ ℝⁿ | ∑|x_i| ≤ 1} (boule unité pour la norme ℓ¹), λ₁ = … = λ_n = 1 et vol(K) = 2ⁿ/n!.

Énoncé du théorème

{\frac {2^{n}}{n!}}\mathrm {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )\leq \lambda _{1}\lambda _{2}\dots \lambda _{n}\mathrm {vol} (K)\leq 2^{n}\mathrm {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )

[1].

La preuve de la première inégalité est « presque triviale[2] ». Certains auteurs[3] ne mentionnent que la seconde sous l'intitulé « Deuxième théorème de Minkowski ». Cette dernière renforce « le » (premier) théorème de Minkowski, selon lequel λ₁ⁿ vol(K) ≤ 2ⁿ vol(ℝⁿ/Γ).

Démonstration

La démonstration par Hermann Minkowski de la majoration, en 1896[4], « a longtemps été considérée comme assez obscure[5] », et de nombreuses preuves alternatives ont été publiées[6]^,[7]^,[8]^,[9]^,[10]^,[11]^,[12], jusqu'à ce que Martin Henk, en 2002[13], en résumant la preuve originale de Minkowski, montre qu'elle était « parfaitement correcte et élégante[5] ».

Notes et références

Lagarias 1995, p. 930 ; Cassels 1957, p. 156 ; Cassels 1971, p. 203 et 218 ; Schmidt 1996, p. 6.
Cassels 1971, p. 203 ; Cassels 1957, p. 156.
Nathanson 1996, p. 181 et Siegel 1989, p. 32.
(de) H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, 1910 (1^re éd. 1896) (lire en ligne), p. 199-219.
Gruber 2007, p. 376.
(en) Harold Davenport, « Minkowski's inequality for the minima associated with a convex body », Q. J. Math., vol. 10,‎ 1939, p. 119-121 (DOI 10.1093/qmath/os-10.1.119).
(en) Hermann Weyl, « On geometry of numbers », Proc. London Math. Soc., 2^e série, vol. 47,‎ 1942, p. 268-289 (DOI 10.1112/plms/s2-47.1.268), repris dans Cassels 1971, p. 215-218.
(en) Theodor Estermann, « Note on a theorem of Minkowski », J. London Math. Soc., vol. 21,‎ 1946, p. 179-182.
(en) R. P. Bambah (en), Alan Woods et Hans Zassenhaus, « Three proofs of Minkowski's second inequality in the geometry of numbers », J. Austral. Math. Soc., vol. 5, n^o 4,‎ 1965, p. 453-462 (DOI 10.1017/S1446788700028482).
(en) I. Danicic, « An elementary proof of Minkowski's second inequality », J. Austral. Math. Soc., vol. 10,‎ 1969, p. 177-181 (DOI 10.1017/S1446788700007023).
Gruber et Lekkerkerker 1987, p. 59-62.
Siegel 1989, p. 39-40.
(en) Martin Henk, « Successive Minima and Lattice Points », Rendi. Circ. Matematico Palermo, 2^e série, vol. 70,‎ 2002, p. 377-384 (arXiv math/0204158) (p. 382-384), repris dans Gruber 2007, p. 377-380.

Bibliographie

(en) John W. S. Cassels, An Introduction to Diophantine Approximation, CUP, 1957 (lire en ligne)
(en) John W. S. Cassels, An Introduction to the Geometry of Numbers, Springer, 1971 (1^re éd. 1959) (lire en ligne), chap. VIII (« Successive minima »)
(en) Peter M. Gruber (en), Convex and Discrete Geometry, coll. « Grund. math. Wiss. » (n^o 336), 2007 (lire en ligne)
(en) Peter M. Gruber et Cornelis G. Lekkerkerker, Geometry of Numbers, North-Holland, 1987, 2^e éd. (1^re éd. 1969, 510 p.), 731 p. (lire en ligne)
(en) Jeffrey C. Lagarias, chap. 19 « Point Lattices », dans R. L. Graham, M. Grötschel et L. Lovász, Handbook of Combinatorics, vol. I, Elsevier, 1995 (lire en ligne), p. 919-966 (p. 465-489 du .pdf)
(en) Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, coll. « GTM » (n^o 165), 1996 (lire en ligne), p. 180-185
(en) Wolfgang M. Schmidt, Diophantine Approximations and Diophantine Equations, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 1467), 1996, 2^e éd. (lire en ligne)
(en) Carl Ludwig Siegel, Lectures on the Geometry of Numbers, Springer, 1989, 160 p. (lire en ligne) (notes rédigées par Komaravolu Chandrasekharan)

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[1] Lagarias 1995, p. 930 ; Cassels 1957, p. 156 ; Cassels 1971, p. 203 et 218 ; Schmidt 1996, p. 6.

[2] Cassels 1971, p. 203 ; Cassels 1957, p. 156.

[3] Nathanson 1996, p. 181 et Siegel 1989, p. 32.

[4] (de) H. Minkowski, Geometrie der Zahlen, 1910 (1^re éd. 1896) (lire en ligne), p. 199-219.

[Gruber376-5] Gruber 2007, p. 376.

[6] (en) Harold Davenport, « Minkowski's inequality for the minima associated with a convex body », Q. J. Math., vol. 10,‎ 1939, p. 119-121 (DOI 10.1093/qmath/os-10.1.119).

[7] (en) Hermann Weyl, « On geometry of numbers », Proc. London Math. Soc., 2^e série, vol. 47,‎ 1942, p. 268-289 (DOI 10.1112/plms/s2-47.1.268), repris dans Cassels 1971, p. 215-218.

[8] (en) Theodor Estermann, « Note on a theorem of Minkowski », J. London Math. Soc., vol. 21,‎ 1946, p. 179-182.

[9] (en) R. P. Bambah (en), Alan Woods et Hans Zassenhaus, « Three proofs of Minkowski's second inequality in the geometry of numbers », J. Austral. Math. Soc., vol. 5, n^o 4,‎ 1965, p. 453-462 (DOI 10.1017/S1446788700028482).

[10] (en) I. Danicic, « An elementary proof of Minkowski's second inequality », J. Austral. Math. Soc., vol. 10,‎ 1969, p. 177-181 (DOI 10.1017/S1446788700007023).

[11] Gruber et Lekkerkerker 1987, p. 59-62.

[12] Siegel 1989, p. 39-40.

[13] (en) Martin Henk, « Successive Minima and Lattice Points », Rendi. Circ. Matematico Palermo, 2^e série, vol. 70,‎ 2002, p. 377-384 (arXiv math/0204158) (p. 382-384), repris dans Gruber 2007, p. 377-380.