Dioïde

Soit D un ensemble muni d'un opérateur binaire ${\displaystyle \oplus }$, nommé addition, d'un opérateur binaire ${\displaystyle \otimes }$, nommé produit, et dans lequel sont spécifiés deux éléments distincts, notés 0 et 1.

On note ≤ le préordre associé à l'opérateur ${\displaystyle \oplus }$ et définie par ${\displaystyle a\leq b\Leftrightarrow \exists c,~a\oplus c=b}$.

On dit que ${\displaystyle (D,\oplus ,\otimes ,0,1)}$ est un dioïde si :

• ${\displaystyle (D,\oplus ,0)}$ est un monoïde commutatif ;
• ${\displaystyle (D,\otimes ,1)}$ est un monoïde ;
• ${\displaystyle \otimes }$ est distributif par rapport à ${\displaystyle \oplus }$ ;
• 0 est un élément absorbant pour ${\displaystyle \otimes }$, c'est-à-dire que ${\displaystyle a\otimes 0=0\otimes a=0}$ ;
• la relation ≤ est une relation d'ordre, c'est-à-dire que ${\displaystyle a\leq b\wedge b\leq a\Rightarrow a=b}$.

Si l'on omet le dernier point, la structure définie est un demi-anneau.

Le nom de dioïde provient du fait qu'il combine deux monoïdes, comme tout demi-anneau (en particulier tout anneau). Ce nom a été employé par Jean Kuntzmann en 1972 pour la structure appelée maintenant demi-anneau[1]. L'utilisation pour désigner un sous-groupe idempotent a été introduite par Baccelli et al. en 1992[2].

Les dioïdes et les anneaux sont tous deux des demi-anneaux, mais ils sont exclusifs les uns des autres.

Le dioïde idempotent est la classe de dioïdes la plus utilisée. Il se caractérise le fait que tout élément ${\displaystyle a}$ est idempotent pour ${\displaystyle \oplus }$, c'est-à-dire que ${\displaystyle a\oplus a=a}$.

Par exemple, ${\displaystyle ([-\infty ,+\infty [,\max ,+,-\infty ,0)}$ est un dioïde idempotent.

Tout demi-anneau idempotent est un dioïde.

Les demi-anneaux idempotents sont donc exactement les dioïdes idempotents.

• Mathématiques tropicales

• Michel Gondran et Michel Minoux, Graphes, dioïdes et semi-anneaux : nouveaux modèles et algorithmes, Paris, Tec & Doc, 2001, xvi+415 (ISBN 2-7430-0489-4, SUDOC 060235101) — Édition en anglais : (en) Michel Gondran et Michel Minoux, Graphs, Dioids and Semirings : New Models and Algorithms, Dordrecht, Springer Science & Business Media, coll. « Operations Research/Computer Science Interfaces Series » (n^o 41), 2008, 388 p. (ISBN 978-0-387-75450-5, zbMATH 1201.16038, lire en ligne)

• Michel Minoux, « Algèbre linéaire dans les semi-anneaux et les dioïdes » [PDF], sur HAL, 1998

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