Diviseur spécial

En mathématiques, un diviseur spécial est un diviseur sur une courbe algébrique qui possède la particularité de déterminer plus de fonctions compatibles qu'attendu.

La condition pour qu'un diviseur D soit spécial peut être formulée en termes de cohomologie des faisceaux comme la non-trivialité du groupe de cohomologie H¹ du faisceau des sections du faisceau inversible associé à D. Par le théorème de Riemann-Roch, cela signifie que le groupe de cohomologie H⁰, espace des sections holomorphes, est plus gros qu'attendu.

Par dualité de Serre (en), cette condition se traduit par l'existence de différentielles holomorphes de diviseur ≥ −D sur la courbe.

Théorie de Brill-Noether

La théorie de Brill-Noether[1], en géométrie algébrique, traite des diviseurs spéciaux sur les courbes algébriques « génériques (en) ». Il est principalement intéressant quand le genre g est supérieur ou égal à 3.

Le théorème de Riemann-Brill-Noether, dont la première preuve rigoureuse fut donnée par Phillip Griffiths et Joe Harris[2], peut se formuler en termes de la variété de Picard Pic(C) et du sous-ensemble de Pic(C) correspondant aux classes d'équivalence des diviseurs D de degré n pour lesquels l(D) (avec les notations du théorème de Riemann-Roch) est égal à r : la dimension dim(n, r, g) de ce sous-schéma de Pic(C) est supérieure ou égale à r(n − r + 1) − (r − 1)g.

Cette borne est atteinte pour les courbes de modules (en) génériques[3].

On peut formuler ce problème en dimensions supérieures, et il existe maintenant une théorie de Brill-Noether pour certaines classes de surfaces algébriques.

Notes et références

(de) Alexander von Brill et Max Noether, « Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie », Math. Ann., vol. 7, n^o 2,‎ 1874, p. 269–316 (DOI 10.1007/BF02104804, JFM 06.0251.01, lire en ligne)
(en) Phillip Griffiths et Joseph Harris, « On the variety of special linear systems on a general algebraic curve », Duke Math. J., vol. 47, n^o 1,‎ 1980, p. 233–272 (Math Reviews 0563378) lien Math Reviews
(en) V. E. Voskresenskii, « Algebraic curve », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Special divisor » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

E. Arbarello, M. Cornalba, P. A. Griffiths et J. Harris, Geometry of Algebraic Curves Volume I, coll. « Grund. math. Wiss. » (n^o 267), 1985 (ISBN 0-387-90997-4)
(en) P. Griffiths et J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley Interscience, 1994 (ISBN 0-471-05059-8), p. 245
(en) Robin Hartshorne, Algebraic Geometry [détail des éditions], p. 345

Article connexe

Théorème de Clifford sur les diviseurs spéciaux (en)

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[1] (de) Alexander von Brill et Max Noether, « Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie », Math. Ann., vol. 7, n^o 2,‎ 1874, p. 269–316 (DOI 10.1007/BF02104804, JFM 06.0251.01, lire en ligne)

[2] (en) Phillip Griffiths et Joseph Harris, « On the variety of special linear systems on a general algebraic curve », Duke Math. J., vol. 47, n^o 1,‎ 1980, p. 233–272 (Math Reviews 0563378) lien Math Reviews

[3] (en) V. E. Voskresenskii, « Algebraic curve », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).