Entier d'Eisenstein

Les entiers d'Eisenstein forment un anneau commutatif euclidien.

Tout entier d'Eisenstein a + bω est un entier algébrique, comme une racine du polynôme

${\displaystyle X^{2}+(b-2a)X+(a^{2}-ab+b^{2}).}$

En particulier, ω satisfait l'équation

${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0.}$

L'anneau des entiers d'Eisenstein est en fait l'anneau de tous les entiers algébriques du corps quadratique ℚ[ω] = ℚ[i√3]. Son discriminant est égal à –12.

Le groupe des unités de cet anneau est le groupe cyclique formé par les six racines sixièmes de l'unité dans le corps des complexes (c'est-à-dire ±1, ±ω, ±ω²). En effet, ce sont les seuls entiers d'Eisenstein de module 1.

Petits entiers d'Eisenstein premiers.

Si x et y sont des entiers d'Eisenstein, nous disons que x divise y s'il existe un certain entier d'Eisenstein z tel que y = z x.

Ceci étend la notion de divisibilité des entiers ordinaires. Par conséquent, nous pouvons aussi étendre la notion de primalité. Un entier d'Eisenstein x non nul et non inversible est dit nombre d'Eisenstein premier si ses seuls diviseurs sont de la forme ux et u où u est l'une des six unités.

Tout nombre premier ordinaire (ou « nombre premier rationnel ») égal à 3 ou congru à 1 mod 3 est de la forme ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}}$ pour certains entiers x, y et peut être par conséquent factorisé en ${\displaystyle (x+\omega y)(x+\omega ^{2}y)}$ et à cause de ceci, n'est pas premier dans les entiers d'Eisenstein. Les nombres premiers ordinaires congrus à 2 mod 3 ne peuvent pas être factorisés de cette manière et sont premiers dans les entiers d'Eisenstein.

L'anneau des entiers d'Eisenstein forme un anneau euclidien pour la norme N définie par

${\displaystyle {\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\\&={\frac {(2a-b)^{2}+3b^{2}}{4}}.\end{aligned}}}$