Exposant (mathématiques)

En mathématiques, l'opération puissance consiste à multiplier un élément $a$ par lui-même plusieurs fois de suite. Le nombre de facteurs intervenant dans cette opération est noté en exposant de l'élément $a$ (c'est-à-dire à la suite de $a$ , légèrement décalé vers le haut à droite et en réduisant sa taille). Pour cette raison, ce nombre de facteurs est encore appelé exposant de l'opération puissance, et ce nom remplace parfois abusivement le nom de l'opération elle-même.

Ainsi, si n est un entier naturel supérieur ou égal à un, on écrit :

a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n{\text{ facteurs}} \atop n-1{\text{ signes }}\times }=\prod _{i=1}^{n}a

qui est lu « a puissance n » ou abusivement « a exposant n ».

À cause de l'importance de l'exposant, et à cause de cette tendance à dire « a exposant n » au lieu de « a puissance n », le nom de l'opération puissance est aussi remplacé par le terme exponentiation qui est bien sûr étymologiquement lié au terme exposant.

Dans ce qui précède l'élément $a$ peut bien sûr être un nombre, mais aussi n'importe quel élément pour lequel on peut effectuer la multiplication $a\times a$ de $a$ par lui-même[note 1] (voir les exemples ci-dessous).

Cette notion de puissance peut être étendue à des exposants entiers relatifs (c'est-à-dire positifs ou nuls ou négatifs), pourvu que les éléments (non nuls) de l'ensemble considéré soient inversibles (voir ci-dessous la section Extension à des exposants négatifs).

Il existe des algorithmes permettant de calculer une puissance, de façon plus efficace que par la méthode naïve consistant à le multiplier par lui-même plusieurs fois : voir exponentiation rapide.

Cas particuliers

$a^{2}=a\times a$

est appelé le carré de

a

, car l'aire d'un carré de côté

a

est

a^{2}

.

$a^{3}=a\times a\times a$

est appelé le cube de

a

, car le volume d'un cube de côté

a

est

a^{3}

.

En outre, par convention :

\displaystyle a^{1}=a

et, si $a$ est inversible (voir ci-dessous) :

\displaystyle a^{0}=1

Notons que :

Dans cette dernière convention $1$ représente l'élément neutre pour la multiplication considérée.
La raison de ces deux conventions[note 2] est de permettre que les théorèmes ci-dessous soient valables aussi pour ces valeurs d'exposants.

Exemples d'éléments pour lesquels on peut définir la notion de puissance

La notion de puissance peut être définie dans tout ensemble dans lequel existe une multiplication (c'est-à-dire une opération à notation multiplicative) et ceci pour tout élément que l'on peut multiplier par lui-même. La structure naturelle où il est possible d'utiliser cette notion de puissance (et par suite d'exposant) pour tout élément est celle de monoïde ou plus généralement, de magma associatif des puissances.

Voici quelques exemples de tels éléments :

Nombres réels (pour le produit de nombres)

La notion de puissance d'un nombre est la plus connue et la plus utilisée.

Matrices (pour le produit de matrices)

Pour qu'une matrice soit multipliable par elle-même, il faut et il suffit que ce soit une matrice carrée (c'est-à-dire qu'elle ait autant de lignes que de colonnes).

Soit par exemple la matrice carrée d'ordre 2 suivante :

A={\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}}

alors

A^{2}=A\times A={\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&-5\\5&8\end{pmatrix}}

puis

A^{3}=A^{2}\times A={\begin{pmatrix}3&-5\\5&8\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-18\\18&19\end{pmatrix}}

et ainsi de suite...

Fonctions (pour la composition)

Rappelons que la composition de fonctions est notée par le symbole $\circ$ et est encore appelée loi rond.

Pour qu'une fonction $f$ soit composable par elle-même (autrement dit pour qu'on puisse définir $f\circ f$ ) , il faut que ce soit une fonction d'un ensemble dans lui-même.

Soit par exemple la fonction $f$ définie de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ par $f:$ x ↦ 2x+3

Alors $f^{2}=f\circ f:x\mapsto 2(2x+3)+3=4x+9$

puis $f^{3}=f^{2}\circ f:x\mapsto 4(2x+3)+9=8x+21$

et ainsi de suite...

Ensembles (pour le produit cartésien)

Le produit cartésien d'un ensemble $E$ par lui-même existe toujours : il s'agit de l'ensemble des couples d'éléments de $E$ . On notera donc

$E^{2}=E\times E$

cet ensemble de couples, et plus généralement

$E^{n}=\underbrace {E\times \cdots \times E} _{n\operatorname {facteurs} }$

l'ensemble des $n$ -uplets d'éléments de $E$ .

Voir aussi : Exponentiation ensembliste.

Extension à des exposants négatifs

Pour que le deuxième théorème ci-dessous reste valable lorsque $n-m$ est négatif, on a été conduit à donner la double définition (convention de notation) suivante pour les exposants négatifs :

Si $a$ est un élément inversible, on note $a^{-1}$ son inverse.

Si en outre $n$ est un entier naturel, alors $a^{n}$ est aussi inversible, et l'on note $a^{-n}$ son inverse.

Avec cette définition, les autres théorèmes ci-dessous restent valables également.

Exemples

Reprenons les exemples donnés plus haut :

Nombres

Parmi les nombres réels, les éléments inversibles sont les éléments non nuls et l'inverse d'un nombre $a$ est encore noté ${\frac {1}{a}}$ .

Alors $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a\times ...\times a}}$

Matrices

Une matrice $A$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Sa matrice inverse $A^{-1}$ est telle que $A\times A^{-1}=A^{-1}\times A=I$

avec $I$ matrice ne comportant que des 1 dans la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.

Par exemple à l'ordre deux, $I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

Voir matrice inverse pour plus de détails.

Fonctions

Une fonction $f$ est inversible si et seulement si elle possède une fonction réciproque, c'est-à-dire une fonction $f^{-1}$ telle que $f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id$ .

Ensembles

Aucun ensemble n'est inversible pour le produit cartésien (en fait il n'y a pas d'élément neutre, donc la notion d'inversibilité n'a pas de sens dans ce cas).

Théorèmes

Dans les théorèmes essentiels qui suivent $a$ , $b$ ... désignent des éléments d'un même ensemble et tels qu'ils soient multipliables par eux-mêmes et multipliables entre eux, tandis que $m$ , $n$ ... désignent (a priori) des entiers strictement positifs.

En outre $a$ (ainsi que $b$ dans le dernier théorème) doit être inversible, s'il intervient dans une puissance à exposant négatif.

Produit de puissances d'un même élément —

a^{n+m}=a^{n}\times a^{m}

Quotient de puissances d'un même élément — Si a est inversible :

a^{n-m}={\dfrac {a^{n}}{a^{m}}}

Puissance de puissance d'un élément —

\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n\times m}

Produit de deux éléments élevés à la même puissance (si le produit est commutatif) —

(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}

Histoire

Dans la première partie du livre premier de sa Théorie analytique des probabilité[1], Laplace présente l'histoire heureuse de cette notation :

« La position d'une grandeur à la suite d'une autre suffit pour exprimer leur produit. Si ces grandeurs sont la même, ce produit est le carré ou la seconde puissance de cette grandeur. Mais, au lieu de l'écrire deux fois, Descartes imagina de ne l'écrire qu'une fois, en lui donnant le nombre 2 pour exposant, et il exprima les puissances successives, en augmentant successivement cet exposant d'une unité[1]. »

« Wallis, qui s'est attaché spécialement à suivre le fil de l'induction et de l'analogie, a été conduit par ce moyen à exprimer les puissances radicales par de exposants fractionnaires; et de même que Descartes exprimait par les exposants 2,3, ... les puissances secondes, troisièmes, ... d'une grandeur, il exprima ses racines secondes, troisièmes, ... par les exposants fractionnaires 1/2, 1/3, ... En général, il exprima par l'exposant m/n la racine n d'une grandeur élevée à la puissance m. En effet, suivant la notation de Descartes, cette expression a lieu dans le cas où m est divisible par n, et Wallis, par analogie, l'étendit à tous les cas[1] »

« Mais il est remarquable que Wallis, qui avait si bien considéré les indices fractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances comme on l'avait fait avant lui. On voit la notation des puissances radicales par les exposants fractionnaires employée pour la première fois dans les lettres de Newton à Oldenburg, insérées dans le Commercium epistolicum. En comparant par la voie de l'induction, donc Wallis avait fait un si bel usage, les exposants des puissances du binôme avec les coefficients des termes de son développement, dans le cas où ces exposants sont des nombres entiers, il détermina la loi de ces coefficients, et il l'étendit, par analogie, aux puissances fractionnaires et aux puissances négatives[1]. »

« Mais l'extension la plus importante que cette notation ait reçue est celle des exposants variables, ce qui constitue le Calcul exponentiel, l'une des branches les plus fécondes de l'Analyse moderne. Leibnitz a indiqué le premier, dans les Actes de Leipzig pour 1682, les transcendantes à exposants variables, et par là il a complété le système des éléments dont une fonction finie peut être composée [...][1]. »

« Leibnitz ayant adapté au Calcul différentiel une caractéristique très commode, il imagina de lui donner les mêmes exposants qu'aux grandeurs ; mais alors ces exposants, au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d'une même fonction[1]. »

Notes et références

Notes

Il est remarquable qu'en général il suffit en effet de pouvoir calculer $a\times a$ pour que n'importe quelle puissance de $a$ puisse être calculée.
Dans la première convention, on peut considérer que $a$ est un produit avec un seul facteur et dans la seconde qu'il n'y a plus aucun facteur, sauf un facteur implicite égal à 1.

Références

« Théorie analytique des probabilités » Laplace sur Gallica

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[1] Il est remarquable qu'en général il suffit en effet de pouvoir calculer $a\times a$ pour que n'importe quelle puissance de $a$ puisse être calculée.

[2] Dans la première convention, on peut considérer que $a$ est un produit avec un seul facteur et dans la seconde qu'il n'y a plus aucun facteur, sauf un facteur implicite égal à 1.

[thanpr-3] « Théorie analytique des probabilités » Laplace sur Gallica