Exponentiation rapide

La première façon de calculer une puissance n^p est de multiplier n par lui-même p fois. Cependant, il existe des méthodes bien plus efficaces, où le nombre d'opérations nécessaires n'est plus de l'ordre de p mais de l'ordre de log(p).

Par exemple, si l'on écrit ${\displaystyle p=\sum _{i\leq d}a_{i}2^{i}}$ pour ${\displaystyle a_{i}\in \{0,1\}}$, on constate que

${\displaystyle n^{p}=n^{a_{0}}(n^{2})^{a_{1}}(n^{2^{2}})^{a_{2}}\dots (n^{2^{d}})^{a_{d}}}$.

Il faut ainsi d opérations pour calculer tous les ${\displaystyle n^{2^{i}}}$, puis d opérations supplémentaires pour former le produit des ${\displaystyle (n^{2^{i}})^{a_{i}}}$. Le nombre total d'opérations est donc 2d, qui est bien de l'ordre du logarithme de p. Cette simple remarque algébrique conduit à l'algorithme présenté dans la section suivante.

Soit n un entier strictement supérieur à 1, supposons que l'on sache calculer, pour chaque réel x, toutes les puissances x^k de x, pour tout k, tel que 1 ≤ k < n.

• Si n est pair alors xⁿ = (x²)^n/2. Il suffit alors de calculer y^n/2 pour y = x².
• Si n est impair et n > 1, alors xⁿ = x(x²)^{(n – 1)/2}. Il suffit de calculer y^{(n – 1)/2} pour y = x² et de multiplier le résultat par x.

Cette remarque nous amène à l'algorithme récursif suivant qui calcule xⁿ pour un entier strictement positif n :

${\displaystyle {\mbox{puissance}}(x,\,n)=\left\{{\begin{matrix}x,&{\mbox{si }}n{\mbox{ = 1}}\\{\mbox{puissance}}(x^{2},\,n/2),&{\mbox{si }}n{\mbox{ est pair}}\\x\times {\mbox{puissance}}(x^{2},\,(n-1)/2),&{\mbox{si }}n{\mbox{ est impair}}\\\end{matrix}}\right.}$

En comparant à la méthode ordinaire qui consiste à multiplier x par lui-même n – 1 fois, cet algorithme nécessite de l'ordre de O(log n) multiplications et ainsi accélère le calcul de xⁿ de façon spectaculaire pour les grands entiers.

La méthode fonctionne dans tout semi-groupe et est souvent utilisée pour calculer des puissances de matrices, et particulièrement en cryptographie, mais aussi pour calculer les puissances dans un anneau d'entiers modulo q. Elle peut être aussi utilisée pour calculer des puissances d'un élément dans un groupe, en utilisant pour les puissances négatives la règle : puissance(x, –n) = (puissance(x, n))⁻¹. C'est cette méthode que l'on applique lorsque l'on effectue la multiplication de deux nombres chiffre par chiffre en base 2 : le groupe est ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$.