Demi-groupe

Un demi-groupe est un magma associatif.

Un demi-groupe est un magma associatif. Un monoïde est un demi-groupe unifère, c'est-à-dire possédant un élément neutre[1]^,[2].

• L'ensemble des entiers naturels non nuls avec l'addition comme loi est un semi-groupe.
• L'ensemble vide pour sa seule loi de composition interne : l'application vide.
• Tout groupe et plus généralement tout monoïde.
• Tout pseudo-anneau, pour la multiplication (plus exactement si ${\displaystyle (A,+,*)}$ est un pseudo-anneau, alors ${\displaystyle (A,*)}$ est un demi-groupe).
• Tout ensemble ordonné dont toute paire d'éléments possède une borne inférieure, muni précisément de la loi qui leur associe cette borne inférieure, constitue un demi-groupe commutatif et dont tout élément est idempotent. La réciproque est vraie : soit ${\displaystyle (S,*)}$ un tel demi-groupe, en posant ${\displaystyle aRb}$ si ${\displaystyle a*b=a}$, on a S partiellement ordonné par R et toute paire d'éléments possède une borne inférieure dans (S, R).
• Pour tout demi-groupe ${\displaystyle (S,*)}$, l'ensemble des parties de S en est également un pour l'opération définie par${\displaystyle A\cdot B=\{a*b\mid a\in A,b\in B\}.}$

Soient ${\displaystyle (S,\cdot )}$ et ${\displaystyle (T,\star )}$ deux demi-groupes. Une application ${\displaystyle f:S\to T}$ est un morphisme de demi-groupes si ${\displaystyle f(s\cdot t)=f(s)\star f(t)}$ pour tous ${\displaystyle s,t\in S}$. Par exemple, l'application ${\displaystyle f:n\mapsto 2^{n}}$ est un morphisme du demi-groupe des entiers naturels munis de l’addition dans le demi-groupe des puissances entières de 2 munis de la multiplication.

Soit ${\displaystyle (S,\cdot )}$ un demi-groupe. Il est d'usage de noter ${\displaystyle (S^{1},\cdot ')}$ le monoïde obtenu par l'ajout à ${\displaystyle S}$ d'un élément supplémentaire, qui déterminera ${\displaystyle \cdot '}$ comme l'unique prolongement de ${\displaystyle \cdot }$ à ${\displaystyle (S^{1})^{2}}$ qui fait de ce nouvel élément le neutre de ${\displaystyle (S^{1},\cdot ');}$ ce dernier restant ${\displaystyle (S,\cdot )}$ s'il est déjà unifère. Formellement

${\displaystyle S^{1}={\begin{cases}S&{\text{si }}S\mathrm {~contient~un~{\acute {e}}l{\acute {e}}ment~neutre~;} \\S\cup \{1\}&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$

Dans le deuxième cas, ${\displaystyle 1}$ est un objet quelconque qui ne figure pas dans ${\displaystyle S}$, et la loi ${\displaystyle \cdot }$ sur ${\displaystyle S}$ est étendue à ${\displaystyle S\cup \{1\}}$ en posant

${\displaystyle a\cdot '1=1\cdot 'a=a}$ pout tout ${\displaystyle a}$ dans ${\displaystyle S\cup \{1\}.}$

Lorsque le demi-groupe ${\displaystyle (S,\cdot )}$ est commutatif, le monoïde ${\displaystyle (S^{1},\cdot ')}$ l'est aussi. On définit alors son groupe symétrisé ou groupe de Grothendieck ${\displaystyle G(S^{1},\cdot ')}$. Si de plus ${\displaystyle (S,\cdot )}$ est simplifiable (c'est-à-dire si tous ses éléments sont réguliers) alors ${\displaystyle (S^{1},\cdot ')}$ l'est aussi, donc le morphisme canonique de ${\displaystyle (S,\cdot )}$ dans ${\displaystyle G(S^{1},\cdot ')}$ (via ${\displaystyle (S^{1},\cdot ')}$ ) est injectif.

Un sous-demi-groupe d'un demi-groupe ${\displaystyle S}$ est un sous-ensemble de ${\displaystyle S}$ fermé sous l'opération de ${\displaystyle S}$. Un sous-monoïde d'un monoïde ${\displaystyle M}$ est un sous-demi-groupe de ${\displaystyle M}$ qui contient l'élément neutre de ${\displaystyle M}$.

Ainsi l'ensemble ℕ des nombres naturels, muni de la multiplication, est un demi-groupe commutatif dont l'ensemble 2ℕ des nombres pairs est un sous-demi-groupe : à noter que ℕ est un monoïde avec élément neutre 1 alors que 2ℕ n'est qu'un demi-groupe.

Un sous-demi-groupe d'un monoïde ${\displaystyle M}$ peut être un monoïde sans être un sous-monoïde de ${\displaystyle M}$. Par exemple dans le monoïde multiplicatif ℕ ci-dessus, le sous-demi-groupe {0} est le monoïde trivial, mais n'est pas un sous-monoïde de ℕ, car il ne contient pas l'élément neutre de ℕ.

Il existe dans les demi-groupes une notion de pseudoinverse (à comparer avec celle de matrice pseudoinverse) et une notion d'inverse (nécessairement différente de celle d'« inverse » au sens d'élément symétrique dans les groupes, puisqu'un demi-groupe ne possède pas nécessairement d'élément neutre) ; (voir aussi Inverse (homonymie)) :

${\displaystyle x}$ est un pseudoinverse[3] de ${\displaystyle a}$ si ${\displaystyle axa=a}$.

${\displaystyle b}$ est un inverse de ${\displaystyle a}$ si ${\displaystyle aba=a}$ et ${\displaystyle bab=b}$.

Tout inverse est évidemment un pseudoinverse. Réciproquement, si ${\displaystyle x}$ est un pseudoinverse de ${\displaystyle a}$ alors[4] ${\displaystyle b=xax}$ est un inverse de ${\displaystyle a}$, puisque ${\displaystyle aba=a(xax)a=(axa)(xa)=a(xa)=a}$ et ${\displaystyle bab=(xax)ab=x(axa)b=(xa)(xax)=x(axa)x=xax=b}$.

Un demi-groupe régulier est un demi-groupe dans lequel tout élément admet au moins un pseudoinverse ou (ce qui, d'après ce qui précède, est équivalent) au moins un inverse.

Un demi-groupe inversif est un demi-groupe dans lequel tout élément admet un unique inverse[5].

Une partie[6] ${\displaystyle I}$ d'un demi-groupe ${\displaystyle S}$ est un idéal à gauche (à droite) si ${\displaystyle SI\subset I}$, ${\displaystyle IS\subset I}$. C'est un idéal (bilatère) s'il est à la fois un idéal à droite et à gauche. Pour tout élément ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle S}$, l'ensemble ${\displaystyle S^{1}a}$, ${\displaystyle aS^{1}}$, ${\displaystyle S^{1}aS^{1}}$ est l'idéal à gauche, à droite, bilatère engendré par ${\displaystyle a}$. Un idéal est propre s'il est non vide et distinct du demi-groupe tout entier.

Un zéro d'un demi-groupe ${\displaystyle S}$ est un élément ${\displaystyle 0}$ tel que ${\displaystyle 0s=s0=0}$ pout tout ${\displaystyle s}$ dans ${\displaystyle S}$. Par exemple, le nombre 0 est un zéro des entiers naturels pour la multiplication. Si un demi-groupe possède un zéro, il est unique. Le zéro, s'il existe, est un idéal bilatère propre si ${\displaystyle S}$ ne se réduit pas à cet élément.

L'étude des demi-groupes, en tant que structure algébrique, commence avec des travaux russes, notamment de Anton Suschkewitsch, qui détermina en 1928 la structure des semi-groupes simples finis[8], et Evgenii Sergeevich Lyapin. Quelques années plus tard, des travaux fondateurs ultérieurs furent menés par David Rees, James Alexander Green, Alfred H. Clifford et Gordon Preston[9]. La théorie des demi-groupes finis s'est beaucoup développée, en liaison avec la théorie des automates, sous l'impulsion de Marcel-Paul Schützenberger et Samuel Eilenberg notamment. Elle est directement liée aux variétés de langages formels[10].

Depuis 1970 paraît un périodique consacré à la théorie des demi-groupes, appelé Semigroup Forum.

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Semi-groupe » (voir la liste des auteurs).
• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Semigroup » (voir la liste des auteurs).

• Classes particulières de demi-groupes (en)
• Théorème des variétés d'Eilenberg
• Demi-groupe 3x+1
• Demi-groupe automatique
• Demi-groupe numérique

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