Technique de multiplication dite russe

En pseudo code, l'algorithme de multiplication dite russe peut s'écrire :

  Fonction mult (x,y)
     r = 0
     Tant que x est différent de 0
        Si x est impair alors
           r = r + y
           x = x - 1  
        fin si
        x = x / 2
        y = y * 2
     Fin tant que
     Renvoyer r
  Fin fonction

Note : les opérations effectuées ici sont des opérations sur des entiers et sont à valeurs dans les entiers.

Pour 13 x 238 on peut écrire :

Opérations sur le multiplicateur	Opérations sur le multiplicande	Somme cumulée des multiples du multiplicande
${\displaystyle 13=6\times 2+1}$ 13 divisé par 2 : le quotient est 6, le reste est 1,	238,	238
${\displaystyle 6=3\times 2+0}$ 6 divisé par 2 : le quotient est 3, le reste est 0,	${\displaystyle 238\times 2=476}$,	Le reste est nul, pas d'ajout du multiple. 238
${\displaystyle 3=1\times 2+1}$ 3 divisé par 2 : le quotient est 1, le reste est 1,	${\displaystyle 476\times 2=952}$,	Le reste est non nul, on ajoute le multiple obtenu à cette étape : ${\displaystyle 238+952=1190}$
${\displaystyle 1=0\times 2+1}$ 1 divisé par 2 : le quotient est 0, le reste est 1. Le quotient est nul, on stoppe l'algorithme.	${\displaystyle 952\times 2=1904}$	Le reste est non nul, on ajoute le multiple obtenu à cette étape : ${\displaystyle 1190+1904=3094}$
${\displaystyle 13\times 238=3094}$

13 = 1101 en base 2 (obtenu en lisant les restes de bas en haut dans le tableau, et écrit selon la convention usuelle de droite — unités — à gauche — puissances élevées).

Pour limiter le nombre d'opérations, il faut généralement choisir comme multiplicateur le plus petit des deux nombres à multiplier. Toutefois, si l'un d'eux est une puissance de 2, c'est plutôt lui qu'il faut préférer (il n'y a pas d'addition). Les restes deviennent forcément nuls, et donc le résultat devient stable, à partir du moment où le quotient est lui-même nul. Formellement, la condition d'arrêt (s'arrêter lorsque le quotient est nul) est donc seulement une commodité.

Graphiquement, l'on peut dire qu'une multiplication transforme un rectangle multiplicateur x multiplicande en une ligne en conservant le nombre d'éléments.

L'algorithme graphique consiste pour la multiplication russe à :

1. a) si le multiplicateur est pair, prendre la moitié inférieure du rectangle et la coller sur un côté (on transforme ainsi un rectangle 2n x p en un rectangle n x 2p) ;
   b) si le multiplicateur est impair, enlever d'abord la dernière ligne et la mettre à part, ce qui ramène au cas précédent 1.a) ;
2. recommencer jusqu'à n'obtenir qu'une seule ligne ;
3. additionner toutes les lignes mises à part.

La technique de multiplication dite russe est très liée, mathématiquement, à l'algorithme d'exponentiation rapide, et peut être vue comme une version « additive » de ce dernier. En effet, la technique de multiplication dite russe permet de calculer, pour tout entier k et élément g d'un monoïde additif, l'élément ${\displaystyle k\cdot g=g+\dotsb +g}$ (addition de k termes) tandis que l'algorithme d'exponentiation rapide permet de calculer, pour tout entier k et élément g d'un monoïde multiplicatif, l'élément ${\displaystyle g^{k}=g\times \dotsb \times g}$ (multiplication de k termes). Autrement dit, exprimés dans le langage des monoïdes, ces deux algorithmes sont strictement identiques.

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