Extension linéairement disjointe

On fixe une extension de corps (commutatifs) ${\displaystyle \Omega /K}$. Deux sous-extensions ${\displaystyle E,F}$ sont dites linéairement disjointes sur ${\displaystyle K}$ si toute base (vectorielle) ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i}}$ de ${\displaystyle E}$ sur ${\displaystyle K}$ est libre par rapport à ${\displaystyle F}$, c'est-à-dire que si une somme finie ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i}f_{i}e_{i}}$ dans ${\displaystyle \Omega }$ est nulle avec les ${\displaystyle f_{i}}$ dans ${\displaystyle F}$, alors ces derniers sont tous nuls. Contrairement à l'apparence immédiate, cette condition est symétrique par rapport à ${\displaystyle E,F}$.

La linéaire disjonction implique que ${\displaystyle \scriptstyle E\cap F=K}$, mais la réciproque est en général fausse.

Exemples

• Dans l'extension ℂ/ℚ, les sous-extensions ℝ et ℚ[i] sont linéairement disjointes sur ℚ.
• Les sous-extensions ℚ[ 2^1/3 ] et ℚ[ ${\displaystyle j}$ 2^1/3 ], où ${\displaystyle j=e^{2i\pi /3}}$, ne sont pas linéairement disjointes sur ℚ. En effet, la base ${\displaystyle \scriptstyle \left\{1,j2^{1/3},\left(j2^{1/3}\right)^{2}\right\}}$ de ℚ[ ${\displaystyle j}$ 2^1/3 ] vérifie la relation linéaire ${\displaystyle \scriptstyle \left(j2^{1/3}\right)^{2}+(j2^{1/3})+2^{1/3}.1=0}$ dans ℂ avec coefficients dans ℚ[ 2^1/3 ].
• Si un élément ${\displaystyle t}$ de ${\displaystyle \Omega }$ est transcendant sur ${\displaystyle K}$, alors ${\displaystyle K(t)}$ est linéairement disjointe de toute sous-extension algébrique de ${\displaystyle \Omega }$.

On fixe des sous-extensions ${\displaystyle E,F}$ comme ci-dessus.

• ${\displaystyle E,F}$ sont linéairement disjointes sur ${\displaystyle K}$ si et seulement si l'application canonique ${\displaystyle \scriptstyle E\otimes _{K}F\to \Omega }$ qui envoie ${\displaystyle \scriptstyle e\otimes f}$ sur ${\displaystyle ef}$ est injectif (son image est toujours égale au compositum ${\displaystyle EF}$).
• Si l'une des extensions est algébrique, la propriété d'être linéairement disjointe est équivalente à ce que le produit tensoriel d'algèbres ${\displaystyle \scriptstyle E\otimes _{K}F}$ est un corps.
• Si ${\displaystyle E/K}$ est une extension finie, la propriété est équivalente à ${\displaystyle [EF:F]=[E:K]}$.
• Si ${\displaystyle E,F}$ sont des extensions finies, la propriété est équivalente à ${\displaystyle [EF:K]=[E:K][F:K]}$, ce qui est automatiquement vérifié dès que les degrés ${\displaystyle [E:K]}$ et ${\displaystyle [F:K]}$ sont premiers entre eux.
• Si ${\displaystyle E}$ est une extension galoisienne de ${\displaystyle K}$ (et ${\displaystyle F/K}$ quelconque), la propriété est équivalente à ${\displaystyle \scriptstyle E\cap F=K}$.

Soit ${\displaystyle X}$ une variété algébrique intègre sur ${\displaystyle K}$. Soit ${\displaystyle \Omega }$ une clôture algébrique du corps des fonctions rationnelles ${\displaystyle K(X)}$ de ${\displaystyle X}$, et soit ${\displaystyle F}$ la fermeture algébrique de ${\displaystyle K}$ dans ${\displaystyle \Omega }$. C'est un corps algébriquement clos. Alors ${\displaystyle X}$ est géométriquement intègre (i.e. la variété ${\displaystyle X_{F}}$ obtenue par changement de base ${\displaystyle \scriptstyle {\rm {Spec}}F\to {\rm {Spec}}K}$ est intègre) si et seulement si ${\displaystyle K(X)}$ et ${\displaystyle F}$ sont linéairement disjointes sur ${\displaystyle K}$. Si ${\displaystyle K}$ est parfait, ${\displaystyle F}$ est galoisienne (éventuellement infinie) sur ${\displaystyle K}$. La caractérisation plus haut s'applique encore, et ${\displaystyle X}$ est géométriquement intègre si et seulement si ${\displaystyle \scriptstyle F\cap K(X)=K}$ (autrement dit, ${\displaystyle K}$ est algébriquement fermé dans ${\displaystyle K(X)}$).

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Masson, 1981, chap. V

• Portail de l’algèbre