Birapport de droites

Les quatre droites sont données par des équations ${\displaystyle f_{i}(M)=0}$, (i = 1,2,3,4) où ${\displaystyle f_{i}}$ est une forme affine de partie linéaire ${\displaystyle \phi _{i}}$. Supposons la droite ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ définie par un point ${\displaystyle A\,}$ et un vecteur directeur ${\displaystyle u\,}$.

Un point de ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ est sur la droite ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ si, et seulement si, ${\displaystyle M=A+\lambda _{i}u}$ avec ${\displaystyle f_{i}(A)+\lambda _{i}\phi _{i}(u)=0}$ soit ${\displaystyle \lambda _{i}=-{\frac {f_{i}(A)}{\phi _{i}(u)}}.}$

Le birapport s'écrit alors

${\displaystyle {\frac {\lambda _{1}-\lambda _{3}}{\lambda _{2}-\lambda _{3}}}:{\frac {\lambda _{1}-\lambda _{4}}{\lambda _{2}-\lambda _{4}}}}$

ou encore après avoir remplacé les ${\displaystyle \lambda _{i}}$ par leur valeur et réduit les fractions au même dénominateur

On peut également mettre cette expression sous la forme :

${\displaystyle (1)\qquad {\frac {\begin{vmatrix}f_{3}(A)&f_{1}(A)\\\phi _{3}(u)&\phi _{1}(u)\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}f_{3}(A)&f_{2}(A)\\\phi _{3}(u)&\phi _{2}(u)\end{vmatrix}}}:{\frac {\begin{vmatrix}f_{4}(A)&f_{1}(A)\\\phi _{4}(u)&\phi _{4}(u)\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}f_{4}(A)&f_{2}(A)\\\phi _{4}(u)&\phi _{2}(u)\end{vmatrix}}}.}$

Les droites ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$ engendrant le faisceau de droites auquel appartiennent ${\displaystyle D_{3}}$ et ${\displaystyle D_{4}}$, il existe des constantes ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ telles que ${\displaystyle f_{3}=f_{1}+\alpha f_{2}}$ et ${\displaystyle f_{4}=f_{1}+\beta f_{2}}$.

Notons que ce résultat est encore vrai dans le cas des droites parallèles.

En remplaçant ces expressions dans l'égalité (1), les déterminants se simplifient immédiatement (par combinaison de colonnes) ce qui conduit à l'égalité

Ce rapport ne dépend donc que des quatre droites du faisceau et non de ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ dont les éléments caractéristiques ont disparu.

Cas des droites parallèles

Soit ${\displaystyle {\mathcal {D}},{\mathcal {D}}'}$ deux sécantes. Le théorème de Thalès permet d'affirmer que tous les quotients ${\displaystyle {\frac {\overline {M_{i}M_{j}}}{\overline {M'_{i}M'_{j}}}}}$ sont égaux.

Il en résulte immédiatement que ${\displaystyle {\frac {\overline {M'_{3}M'_{1}}}{\overline {M'_{3}M'_{2}}}}:{\frac {\overline {M'_{4}M'_{1}}}{\overline {M'_{4}M'_{2}}}}={\frac {\overline {M_{3}M_{1}}}{\overline {M_{3}M_{2}}}}:{\frac {\overline {M_{4}M_{1}}}{\overline {M_{4}M_{2}}}}}$

Le birapport est donc conservé.

Cas des droites issues d'un point

Quite à translater la droite ${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$, ce qui ne change pas le birapport des quatre points, on peut supposer que ${\displaystyle {\mathcal {D}}'\cap {\mathcal {D}}_{1}={\mathcal {D}}\cap {\mathcal {D}}_{1}=M_{1}}$.

On mène ensuite les parallèles à ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}}$ issues de ${\displaystyle M_{3}}$ et ${\displaystyle M'_{3}}$ qui coupent ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}}$ en ${\displaystyle N_{2}}$ et ${\displaystyle N'_{2}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{4}}$ en ${\displaystyle N_{4}}$ et ${\displaystyle N'_{4}}$.

Le théorème de Thalès affirme ${\displaystyle {\frac {\overline {M_{2}M_{1}}}{\overline {M_{2}M_{3}}}}={\frac {\overline {OM_{1}}}{\overline {N_{2}M_{3}}}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\overline {M_{4}M_{1}}}{\overline {M_{4}M_{3}}}}={\frac {\overline {OM_{1}}}{\overline {N_{4}M_{3}}}}}$;

Par quotient, il vient ${\displaystyle {\frac {\overline {M_{2}M_{1}}}{\overline {M_{2}M_{3}}}}:{\frac {\overline {M_{4}M_{1}}}{\overline {M_{4}M_{3}}}}={\frac {\overline {N_{4}M_{3}}}{\overline {N_{2}M_{3}}}}}$

De même on a ${\displaystyle {\frac {\overline {M'_{2}M'_{1}}}{\overline {M'_{2}M'_{3}}}}:{\frac {\overline {M'_{4}M'_{1}}}{\overline {M'_{4}M'_{3}}}}={\frac {\overline {N'_{4}M'_{3}}}{\overline {N'_{2}M'_{3}}}}}$

Le théorème de Thalès permet de prouver l'égalité ${\displaystyle {\frac {\overline {N_{4}M_{3}}}{\overline {N_{2}M_{3}}}}={\frac {\overline {N'_{4}M'_{3}}}{\overline {N'_{2}M'_{3}}}}}$

Les birapports [M₁; M₃; M₂; M₄] et [M'₁; M'₃; M'₂; M'₄] sont donc égaux, et par permutation, il en est de même des birapports [M₁; M₂; M₃; M₄] et [M'₁; M'₂; M'₃; M'₄].