Fatigue (matériau)

L'essai de traction simple consiste à venir étirer une éprouvette de manière progressive et ininterrompue. Cet essai donne, entre autres, deux valeurs fondamentales pour l'étude de la résistance des matériaux :

• la résistance à la traction, ou limite à la rupture, R_m ;
• pour les matériaux ductiles, la limite d'élasticité R_e.

Essai de fatigue en sollicitation purement alternée.

Pour étudier la fatigue, on soumet l'éprouvette à une sollicitation variant de manière cyclique, sinusoïdale. L'essai de base est un essai avec une sollicitation « purement alternée », dit « essai à R = -1 » (voir plus loin) : la contrainte subie a pour forme :

${\displaystyle \sigma (t)=\sigma _{\mathrm {a} }\times \sin(2\pi ft)}$

avec :

• σ_a : amplitude de contrainte, à ne pas confondre avec Δσ, l'étendue de contrainte (Δσ =2.σ_a) ;
• ƒ : fréquence.

On fixe donc l'amplitude de contrainte σ_a, et l'on regarde au bout de combien de cycles N se produit la rupture. Ce nombre de cycles est normalement indépendant de la fréquence[2] ; cependant,

• une fréquence élevée peut provoquer un échauffement de l'éprouvette, en particulier pour les aciers inoxydables et les polymères, et donc une rupture anticipée d'une part, la limite d'endurance diminue donc avec la fréquence ;
• d'autre part, en présence de corrosion, une fréquence lente permet aux réactions chimiques d'avoir lieu, la limite d'endurance augmente donc avec la fréquence.
• certains matériaux sont sensibles à des interactions fatigue-fluage, d'où une dépendance à la fréquence (plus rigoureusement, au temps passé au-dessus d'une contrainte-seuil), voir le paragraphe fatigue-fluage.

On se limite en général à 30 Hz pour un acier, et à 3 Hz pour un polymère.

L'éprouvette casse de manière aléatoire. Pour un matériau donné, il faut donc effectuer plusieurs essais pour un niveau de contrainte alternée σ_a donné : au minimum 3, dans l'idéal une vingtaine. Dans la pratique, on utilise 3 à 9 éprouvettes.

La principale limitation de cet essai est la durée et le coût. Pour cette raison, on a souvent un nombre limité d'éprouvettes, et l'on arrête les tests au bout de dix millions de cycles (10⁷) même si l'éprouvette n'est pas rompue (censure) : à 30 Hz, un essai dure 3,3 × 10⁵ s soit trois jours et vingt heures. Pour les polymères, la fréquence étant plus faible, on se limite en général à un million de cycles (10⁶).

Courbe de Wöhler pour un alliage d'aluminium.

Pour un métal, le nombre de cycles à la rupture N est une variable aléatoire qui suit une loi normale ; pour un polymère, elle suit une loi de Weibull. On fait des essais à divers niveaux d'amplitude de contrainte σ_a. On peut donc déterminer le nombre moyen de cycles à la rupture en fonction de σ_a, N(σ_a). Ces points sont placés sur un diagramme log-linéaire (échelle logarithmique en base 10 pour N, échelle linéaire pour σ_a), et forme la courbe de Wöhler, ou courbe S-N (stress vs. number of cycles).

Telle quelle, cette courbe donne une tendance sur le comportement du matériau, mais est peu utile : on sait que pour un niveau de contrainte alternée σ_a donné, la moitié des éprouvettes cassent pour un nombre de cycles inférieur à N(σ_a), l'autre moitié pour un nombre de cycles supérieur à N(σ_a). Dans la pratique, on utilise donc une courbe de Wöhler probabilisée, ou courbe P-S-N (probability, stress, number of cycles) : on choisit un nombre de défaillances — typiquement 5 ou 10 % —, on choisit un niveau de confiance (1 - γ) donné[3] — typiquement 90 à 95 % —, et l'on trace la courbe correspondante. Par exemple, on trace la courbe pour laquelle on garantit à 95 % que l'on a moins de 5 % de rupture ; une telle courbe est parfois appelée « courbe de conception ».

Cet essai permet de qualifier le matériau.

Si une pièce faite dans ce matériau est dans un état de contrainte uniaxial et subit de la fatigue purement alternée, cette courbe permet de prédire la durée de vie de la pièce, ou bien de dimensionner la pièce pour qu'elle ait une durée de vie donnée.

Sur un essai idéal, le faciès de rupture de l'éprouvette présente deux zones : une zone d'apparence soyeuse, et une zone d'apparence rugueuse. Les deux zones sont dans un plan perpendiculaire à l'axe de sollicitation. La rupture présente en effet trois stades :

• premier stade : germination de fissures ; extérieurement, on ne voit rien, mais le matériau se modifie petit à petit localement ; il se crée alors des fissures, qui se situent dans un plan de cisaillement maximal, à 45° de l'axe de l'éprouvette ;
• deuxième stade : propagation de la fissure ; au moins une fissure atteint une taille critique et commence à se propager ; la propagation se fait dans un plan perpendiculaire à la sollicitation (mode d'ouverture I) ;
  la fissure progresse à chaque cycle, donc si l'on regarde le faciès de rupture au microscope électronique à balayage (MEB), on voit des stries de fatigue ; si la sollicitation change (arrêt et redémarrage de la machine, changement de régime), il se produit une ligne plus marquée, visible à l'œil nu, appelée ligne d'arrêt ;
• troisième stade : rupture brutale ; la fissure a réduit la section résistante de la pièce, la contrainte dépasse la résistance à la traction ;
  on a donc une zone de rupture finale présentant des cupules si le matériau est ductile, ou des plans de clivage ou des joints de grain si la rupture est fragile.

Si l'amplitude de contrainte est proche de la résistance à la traction R_m, l'éprouvette rompt au bout de quelques cycles ; on parle de rupture dite « quasi statique ». La rupture statique est une rupture en 1/4 de cycle (lors de la première montée).

Si l'amplitude de contrainte est de l'ordre de grandeur de la limite d'élasticité R_e, on a de la rupture au bout d'un faible nombre de cycles. C'est la partie gauche de la courbe de Wöhler, on parle de fatigue oligo-cyclique.

Puis vient le domaine de la rupture à grand nombre de cycles, pour N ≥ 50 000 (5 × 10⁴). La courbe de Wölher présente une portion décroissante, puis une asymptote horizontale. La valeur limite de σ_a est appelée « limite d'endurance » et est notée σ_D.

On utilise souvent un modèle analytique N = ƒ(σ_a) pour décrire la courbe — à noter que la courbe de Wöhler est elle en σ_a = ƒ(N). L'utilisation d'un modèle permet de réduire le nombre d'essais nécessaires pour déterminer la courbe, et permet d'utiliser une formule plutôt qu'une lecture sur un graphique. Ceci est particulièrement intéressant dans le cas d'un calcul sur ordinateur.

Retenons à titre d'illustration le modèle le plus simple, le modèle de Basquin, qui décrit la partie centrale de la courbe (fatigue à grand nombre de cycles) :

N⋅σ_a^m = C

log(N) = log(C) - m⋅log(σ_a)

où C et m sont des paramètres déterminés par régression ; 1/m est de l'ordre de 0,1[4]. À noter que la courbe de Wöhler utilise une échelle semi-logarithmique, alors que la loi de Basquin donne une droite dans une échelle log-log.

Nous avons vu que pour des raisons économiques, on interrompt les essais au bout d'un nombre donné de cycles (en général 10⁶ ou 10⁷). La méthode des essais censurés ne permet pas de déterminer la limite d'endurance. Par ailleurs, alors que certains matériaux semblent montrer une asymptote horizontale non nulle (en particulier les aciers), on a en revanche l'impression que la courbe de Wöhler tend vers 0 pour d'autres (en particulier les alliages d'aluminium). En clair, certains matériaux ont une limite d'endurance nulle, n'ont pas de limite d'endurance, et pour une amplitude contrainte donnée même faible, il suffit d'attendre « suffisamment longtemps » pour que la pièce casse par fatigue.

On définit de fait la limite conventionnelle comme étant la contrainte la plus élevée pour laquelle il n'y a pas de rupture après un nombre donné de cycles, 10⁶ ou 10⁷. Pour la déterminer, on utilise des méthodes d'essais tronqués, c'est-à-dire que l'on fait varier l'amplitude de contrainte σ_a entre deux essais.

La limite d'endurance σ_D est définie pour un rapport de contrainte R donné (voir ci-après), et pour un nombre de cycle conventionnel (typiquement 10⁶ ou 10⁷).

Pour les aciers, il existe une formule empirique donnant σ_D en fonction de R_m. En première intention, on peut utiliser :

• pour des aciers, σ_D = R_m/2 ;
• pour des alliages d'aluminium, σ_D = R_m/3.

On ne sait donc pas comment se comporte le matériau à plus de 10⁶ ou 10⁷ cycles, mais la question est-elle pertinente ? En effet, la plupart des pièces subissent au mieux quelques sollicitations par minute, voire par heure ou par jour ; dix millions de cycles représentent dix ans ou mille ans. Si par contre la fréquence de sollicitation est de l'ordre de la seconde, 10⁷ cycles représentent quelques mois, il est légitime de s'intéresser à un nombre de cycles plus grand, par exemple cent millions (10⁸).

Au-delà du nombre de cycles conventionnels choisi (typiquement 10⁶ ou 10⁷, voire 10⁸), on considère que le système a une durée de vie « infinie », c'est-à-dire qu'il connaîtra une défaillance par un mécanisme autre que la fatigue (usure, corrosion, accident).

Divers types de sollicitations sinusoïdales.

La sollicitation réelle n'a aucune raison d'être purement alternée. On effectue donc des essais avec une sollicitation sinusoïdale, mais de moyenne non nulle. On définit alors :

• σ_min et σ_max les valeurs extrêmes que prend la contrainte ;
• σ_m la valeur moyenne, σ_m = (σ_min + σ_max)/2 ;
• le rapport de contrainte R = σ_min/σ_max.

Pour une contrainte purement alternée, on a bien σ_m = 0 et σ_min = - σ_max, donc R = -1.

D'un point de vue du vocabulaire, on parle de

• contraintes ondulées de compression lorsque σ_max < 0 ; on a alors R > 1
• contraintes répétées de compression lorsque σ_max = 0 ; on a alors R = +∞ ;
• contrainte alternées lorsque σ_min < 0 et σ_max > 0 ; on a alternativement de la traction et de la compression, et donc R < 0 ;
• contraintes répétées de traction lorsque σ_min = 0 ; on a alors R = 0 ;
• contraintes ondulées de traction lorsque σ_min > 0 ; on a alors 0 < R < 1.

À noter que l'on fait rarement des essais en contraintes ondulées de compression, car la probabilité de rupture est faible. Par ailleurs, il est difficile de bien régler le niveau σ = 0 de la machine d'essai, les essais en contraintes répétées de traction se fait en général avec un σ_min légèrement positif, typiquement R = 0,1 à 0,5. Une valeur R = 1 correspond à un essai de traction simple (σ_min = σ_max = σ_m).

On effectue donc des essais pour une valeur donnée de R, et à divers niveaux d'amplitude σ_a.

Le rapport de contrainte R doit toujours figurer sur une courbe de Wöhler.

On peut ainsi déterminer une limite d'endurance pour chaque rapport de contrainte, σ_D(R).

Les matériaux viscoélastiques et viscoplastiques ont une limite d'élasticité. Si, au cours du cycle de sollicitation, on ne dépasse jamais cette limite, on parle de comportement élastique.

Si la limite d'élasticité est dépassée, on peut avoir plusieurs comportements asymptotiques, également appelés réponses stabilisées :

• adaptation (shakedown) : l'écrouissage fait que l'on revient rapidement dans le domaine élastique ;
• accommodation : on a un cycle d'hystérésis par effet Bauschinger ;
• rochet (ratchet cycling) : la déformation augmente à chaque cycle, c'est le domaine de la fatigue oligocyclique.

Placement d'un cas particulier sur un diagramme de Haigh ou de Goodman.

La détermination de la limite d'endurance pour une valeur donnée de R nécessite de nombreux essais et donc un investissement en temps et en argent. Or, l'on dispose de nombreuses données pour certaines classes de matériaux, qui permettent de déterminer une loi

σ_D = ƒ(R)

à partir des valeurs de R_m et de σ_D(R = -1). On exprime plus souvent cette relation sous la forme

σ_D = ƒ(σ_m)

puisque l'on a

σ_m = σa⋅(1 + R)/(1 - R).

La forme la plus simple est la loi linéaire de Goodman :

σ_D(R) = σ_D(R = -1)⋅(1 - σ_m/R_m)

On trace cette courbe

• soit sur un diagramme (σ_m, σ_a), c'est le diagramme de Haigh ;
• soit sur un diagramme (σ_m, σ_{min ou max}), c'est le diagramme de Goodman.

Ainsi, si l'on est dans un cas donné (σ_m = a ; σ_a = b),

• on place le point (a ; b) dans le diagramme de Haigh ; si ce point est dans la zone de validation (sous la courbe σ_D = ƒ(σ_m)), alors on considère que la conception est validée, que la pièce va résister ;
• ou bien, sur le diagramme de Goodman, on place le segment [(a ; a - b) ; (a ; a + b)] — segment centré sur le point (a ; a) — ; si le segment est l'intérieur de la zone de validation (entre les courbes σ_min = ƒ(σ_m) et σ_max = ƒ(σ_m)), alors on considère que la conception est validée, que la pièce va résister.

Si le point est en dehors de la zone de sûreté, on est dans la « zone de danger », la zone de durée de vie limitée (N_rupture < 10⁷) ; la conception n'est pas validée.

Les diagrammes de Haigh et de Goodman permettent donc d'extrapoler les résultats obtenus en traction-compression alternée pure (R = -1) à tous les cas (toutes les valeurs de R).

Exemple

Revenons sur l'exemple de départ. Nous avons un acier S235, donc avec une limite d'élasticité garantie R_e = 235 MPa, et une résistance à la traction garantie R_m = 370 MPa (voir le wikilivre Aciers, Caractéristiques physiques, Aciers d'usage général). La limite d'endurance est donnée par la formule (voir Limite d'endurance > Cas des aciers) :

σ_D(R = -1) = 370⋅(0,50 - 1,3⋅10⁻⁴⋅370) = 171 MPa.

La contrainte maximale que subit la barre vaut :

σ_max = F/S = 23 400/100 = 234 N/mm².

Nous sommes dans le cas d'une traction répétée (R = 0), on a donc :

σ_m = σ_a = σ_max/2 = 117 MPa.

Si l'on utilise la loi linéaire de Goodman, la limite d'endurance dans ce cas-là vaut :

σ_D(R = 0) = 171⋅(1 - 117/370) = 116,9 MPa.

On voit que σ_a ≃ σ_D(R = 0), on est donc à la limite de la zone de durée de vie illimitée.

Il existe d'autres sollicitations simples pour lesquels on peut faire des essais de fatigue : flexion plane alternée, flexion-rotation — un arbre en rotation subit de la flexion statique, les fibres longitudinales subissent à chaque tour de la traction et de la compression —, torsion alternée.

En accumulant les essais sur une classe de matériau, on peut déterminer des coefficients qui permettent de calculer la limite d'endurance pour une sollicitation donnée à partir de la limite d'endurance d'un cas de référence. Par exemple, pour de l'acier, en prenant comme référence la traction-compression uniaxiale[5] :

• torsion : 0,67×σ_D ;
• traction-compression : 1×σ_D ;
• flexion rotative : 1,11×σ_D ;
• flexion plane : 1,17×σ_D.

Cela se comprend d'un point de vue qualitatif :

• la résistance à la torsion vaut environ la moitié de la résistance à la traction (1/√3 = 0,577 fois selon le critère de Tresca), mais les fibres proches de la fibre neutre voient peu de contraintes, donc si un défaut s'y trouve, il ne provoque pas de fissure, ce qui fait « remonter » le coefficient ;
• dans le cas de la flexion rotative, les fibres extérieures subissent de la traction-compression, mais les fibres proches de la fibre neutre voient peu de contraintes, donc si un défaut s'y trouve, il ne provoque pas de fissure, ce qui fait « remonter » le coefficient ;
• flexion plane : dans le cas de la flexion rotative, toutes les fibres situées à l'extérieur sont sollicitées ; dans le cas de la flexion plane, les fibres situées à l'extérieur mais proches du feuillet neutre sont peu sollicitées, donc les défauts qui s'y trouvent ne provoquent pas de fissure, ce qui fait « remonter » le coefficient.

Lorsqu'une poutre présente une brusque variation de section, la contrainte varie et prend localement des valeurs plus élevées que la contrainte nominale (celle calculée en divisant la force par la section ou le moment d'effort par le moment quadratique). Ceci est pris en compte par le coefficient de concentration de contrainte K_t :

σ_max = K_t×σ_nom

Dans le cas de la fatigue, on peut faire des essais sur des éprouvettes présentant de telles formes (gorge, épaulement, perçage, …). On trouve un coefficient de concentration de contrainte K_f inférieur au K_t dans des conditions similaires. Conventionnellement, on applique le coefficient à la limite d'endurance :

σ_D = σ_D0/K_f avec K_f ≤ K_t

où σ_D0 est la limite d'endurance pour la géométrie de référence (sur une éprouvette lisse).

Pour les aciers, il existe des abaques en fonction des cas[6].

Les essais de fatigue sont faits sur des éprouvettes de petit diamètre, typiquement 6 à 10 mm. Si une pièce a une section droite plus importante, sa durée de vie est plus petite :

• d'une part, la probabilité d'avoir un défaut est plus importante ;
• d'autre part, dans le cas de la torsion ou de la flexion, la circonférence soumise à un niveau de contrainte donné est plus important, donc il y a d'autant plus de risque d'y avoir un défaut.

Cela est pris en compte par un facteur d'échelle K_e, fourni par un abaque[7] :

σ_D = K_e×σ_D0.

Le facteur K_e est une fonction décroissante du diamètre.

L'amorçage de la fissuration a lieu en surface, et les défauts de surface créent des concentrations de contrainte. On définit donc un facteur d'état de surface K_s, qui dépend de la rugosité totale R_t — et non pas de la rugosité moyenne R_a :

σ_D = K_s×σ_D0

Le facteur K_s est inférieur à 1, puisque les éprouvettes d'essai sont usinées avec soin. Il est donné par un abaque en fonction de R_t et de la résistance à la traction R_m[8].

Les considérations ci-dessus permettent de valider de manière simple l'utilisation d'une pièce soumise à la fatigue dans les conditions suivantes :

• la pièce subit un état de contrainte uniaxial ; typiquement, c'est une poutre subissant des sollicitations simples : traction-compression, flexion plane, flexion rotative, torsion ;
• la pièce subit des efforts pouvant être décrits par une fonction sinusoïdale, dont on connaît la contrainte moyenne σ_m et l'amplitude de contrainte σ_a ;
• la pièce est faite dans un matériau dont on connaît la limite d'endurance dans les conditions de sollicitation (type de sollicitation, σ_m et σ_a donnés) ; ou bien
  la pièce est faite en acier, et l'on connaît sa résistance à la traction R_m.

La méthode simplifiée consiste à[9] :

• tracer le diagramme de Haigh pour la géométrie de référence (éprouvette lisse de ∅ 6 mm) ;
• déterminer les facteurs de concentration de contrainte K_f, de rugosité K_s et d'échelle K_e ;
• déterminer les contraintes nominales σ_mn et σ_an ;
• déterminer les contraintes corrigées
  • ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {mc} }=\mathrm {K_{f}} \times \sigma _{\mathrm {mn} }}$,
  • ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ac} }={\frac {\mathrm {K_{f}} }{\mathrm {K_{e}} \mathrm {K_{s}} }}\times \sigma _{\mathrm {an} }}$ ;
• placer le point (σ_mc ; σ_ac) sur le diagramme de Haigh.

On remarque ici que l'on applique les coefficients K_i sur les contraintes σ_m et σ_a et non sur la limite σ_D, ce qui évite d'avoir à retracer le diagramme de Haigh. On remarque également que seul le facteur de concentration de contrainte affecte la contrainte moyenne σ_m.

Cette méthode permet de valider une conception — le point doit être dans la zone de sécurité — et de déterminer un coefficient de sécurité — à partir de la distance à la courbe. Mais elle ne permet pas de déterminer une durée de vie attendue.

Des essais sur éprouvettes lisses avec un chargement périodique caractérisé par sa contrainte moyenne et sa contrainte alternée permettent de définir le nombre de cycles à rupture du matériau. La rupture en 1/4 de cycle est le résultat de l'essai de traction, elle est obtenue quand la contrainte maximum (contrainte moyenne plus contrainte alternée) atteint la limite de rupture en traction. On peut représenter sous forme de courbes de Wöhler la relation entre son amplitude de contrainte alternée Sa et N le nombre de cycles à rupture pour chaque valeur de R, rapport de charge ; si nécessaire on répète les essais pour différentes températures. Le rapport de charge R est le rapport entre contrainte minimale (contrainte moyenne moins la contrainte alternée) et contrainte maximale (contrainte moyenne plus contrainte alternée). La limite d'endurance SaD(R) est la valeur de contrainte alternée en deçà de laquelle il n'y a pas de fatigue.

Courbe de fatigue de Wöhler (Wöhlerlinie en allemand), représentant en échelles logarithmiques la contrainte à rupture en fonction du nombre de cycles de chargement.

Des facteurs secondaires affectent le nombre de cycles à rupture N : l'état de surface, la fréquence du chargement, la taille de l'éprouvette. Aussi, la préparation des éprouvettes de fatigue avant essais est très importante pour garantir la fiabilité des résultats[10]. Pour étudier la durée de vie d'une structure, on peut utiliser les courbes de Wöhler pour des chargements conduisant à de grandes durées de vie (>50 000 cycles). Il faut pour cela transformer aux endroits les plus contraints le tenseur local variable en son équivalent uniaxial moyen et alterné. Pour des chargements plus intenses, les essais de fatigue conduisant à un effet de rochet (cumul des déformations permanentes à chaque cycle), on leur substitue des essais en déformation imposée. Le cycle de contrainte stabilisé obtenu, caractérisé par sa contrainte moyenne et sa contrainte alternée) permet d'étendre dans le domaine oligocyclique les courbes de Wöhler. Dans le cas d'une structure ou d'une éprouvette entaillée, on doit transformer aux endroits les plus chargés le tenseur local variable en son équivalent uniaxial moyen et alterné. On suppose de plus que s'il y a plastification, elle n'est que locale : il existe un cycle de contrainte qui se stabilise et que l'on caractérisera par son tenseur moyen et son tenseur alterné ; le tenseur moyen peut donc être affectée par un état de contrainte initial (contraintes résiduelles) et par la plasticité en cas de dépassement local de la limite d'élasticité.

L'invariant pertinent du tenseur alterné est le second invariant de son déviateur, c'est-à-dire sa contrainte de von Mises. L'invariant pertinent du tenseur moyen est sa trace : en effet, des essais de torsion sur des éprouvettes axisymétriques démontrent, en l'absence de plasticité, que la fatigue en torsion n'est pas affectée par la torsion moyenne. Alors que la pression hydrostatique n'affecte pas la plasticité, elle réduit la durée de vie en fatigue quand elle est positive. C'est la variation de charge qui produit la fatigue, l'endommagement de fatigue est pondéré par la pression hydrostatique moyenne (égal au tiers de la trace du tenseur moyen).

En cohérence avec les hypothèses ci-dessus, il est nécessaire d'obtenir un chargement périodique.

• Si le niveau de contrainte maximum au sens de von Mises est faible (inférieur à 60 % de la limite d'élasticité), un chargement cyclé en effort est effectué.
• Si le niveau de contrainte maximum au sens de von Mises est supérieur, on effectue des essais en déformation imposée afin d'obtenir un cycle de contrainte-déformation stable lors du chargement périodique.

Aux cycles moyens et alternés stabilisés caractérisés par les invariants définis ci-dessus, on associe le nombre de cycles à rupture de l'essai de fatigue réalisé.

Les critères de fatigue consistent à combiner les deux invariants pour relier de façon biunivoque le scalaire ainsi défini au nombre de cycles à rupture.

Les courbes de fatigue relient de façon biunivoque le nombre de cycles à rupture à une amplitude de contrainte alternée, pour différents rapport de charge (ratio contrainte minimum sur contrainte maximum).

À partir de critère de fatigue, on peut relier une contrainte alternée effective au nombre de cycles à rupture, quel que soit le rapport de charge : on obtient une courbe unifiée.

Les essais de fatigue étant généralement effectués sur des éprouvettes lisses, la définition des invariants est évidente.

Pour un chargement quelconque, des décompositions plus ou moins justifiées (algorithme de type comptage rainflow) permettent d'obtenir des chargements cyclés équivalents.

On admet généralement que la période et la forme exacte des oscillations sont sans effet sur le nombre de cycles admissible. D'autre part, la résistance en fatigue peut être modifiée par de nombreux facteurs (état de surface, causes aléatoires, type de charge, température, concentration de contrainte, …), ce qui peut conduire à des études complémentaires.

La prise en compte de l'aspect statistique des résultats d'essai de fatigue est impérative.

• Dans le domaine oligocyclique, on définit généralement les durées de vie avec la valeur moyenne moins trois écarts-types (m - 3σ), ce qui correspond à une probabilité de 1/741 ou avec la définition B0.1 qui correspond à la probabilité 1/1 000. Pour des procédés de fabrication maîtrisés comme ils le sont dans l'industrie aéronautique, un facteur 2,5 existe entre la valeur moyenne et la valeur minimale définie par m - 3σ.
• En fatigue conventionnelle, la dispersion est supérieure à celle de la fatigue oligocyclique.
• La limite d'endurance SaD minimale vaut environ la moitié de la limite d'endurance moyenne.

Les facteurs secondaires (état de surface, contraintes résiduelles, …) sont plus forts quand la durée de vie augmente.

L'analyse de la structure exige que l'on examine les états de contrainte en tout point. C'est généralement lors des variations de géométrie (entailles, trous...) que l'on obtient les états limitant en fatigue. La prévision de durée de vie exige donc que l'on s'attache à l'étude des détails structurels.

La méthode de prévision de durée de vie la plus élaborée utilise uniquement les résultats de fatigue obtenus sur éprouvettes lisses, en effort imposé ou en déformation imposée comme expliqué plus haut. Pour analyser une structure, on suppose que l'état de contrainte local cyclé de la structure, résultant de l'état de contrainte initial, de la redistribution de contrainte en cas de plastification due au chargement, et du chargement, donne la même durée à l'amorçage de fissure que celle d'une éprouvette lisse soumis au même cycle de contraintes. On admet souvent que la durée de vie en propagation de fissure de l'éprouvette est négligeable.

Le calcul des structures permet d'accéder à chaque cycle caractérisé par une contrainte moyenne et une contrainte alternée calculée en régime élastique ou, si nécessaire à la redistribution de contrainte dû à la plasticité, ce qui changera la contrainte moyenne. Les courbes S-N correspondantes sont généralement décrites par l'équation suivante, pour chaque valeur du rapport de charge R, dans laquelle a et k sont des valeurs caractéristiques du matériau à contrainte moyenne et température donnés, issues des essais sur éprouvettes lisses, décrits ci-dessus, en contrainte ou déformation imposée :

${\displaystyle \mathrm {N} =b(\mathrm {R} )\times \mathrm {S_{a}} ^{-k(\mathrm {R} )}\$ ;\ \mathrm {S_{a}} >\mathrm {S_{aD}} (\mathrm {R} )}

• S_aD : limite d'endurance ;
• R est le rapport de charge = contrainte minimum/contrainte maximum.

R est

• donné par le calcul élastique et l'état de contrainte initial pour un nombre de cycles supérieur à 50 000 cycles ;
• calculé après plastification si le nombre de cycles est inférieur à 50 000 cycles.

Dans le cas uniaxial, R rapport de charge à fond d'entaille tend vers -1 pour un nombre de cycles d'environ 1000 cycles : c'est la relaxation de la contrainte moyenne ; ainsi, les courbes de Whöler obtenues avec les éprouvettes entaillées pour différentes valeurs du rapport R' (rapport de charge des efforts extérieurs) convergent toutes à faible nombre de cycles (en fatigue oligocyclique) vers celle correspondant à R'=-1 de l'essai de fatigue alternée. Lors des essais en déformation imposée sur éprouvettes lisses, à faible nombre de cycles, il y a aussi relaxation de la contrainte moyenne, R tend aussi vers -1 ; ces essais sont considérés comme représentatifs de l'endommagement des détails structurels en fatigue oligocyclique. En fatigue conventionnelle, les essais en effort imposé conviennent car il n'y a pas de variation de R en cours d'essai.

Il est commode de lui donner une forme légèrement différente en définissant le dommage conventionnel au sens de Miner créé par n cycles comme

${\displaystyle \mathrm {D} ={n \over \mathrm {N} }={n \over b(\mathrm {R} )}\times \mathrm {S_{a}} ^{k(\mathrm {R} )}}$

Le critère de Smith-Watson-Topper, SWT, par exemple, considère la contrainte effective pour le cycle de fatigue :

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\mathrm {E} \times \epsilon _{\mathrm {a} }\times \sigma _{\mathrm {max} }}}}$

avec

• E, module de Young ;
• ε_a, déformation alternée ;
• σ_max, contrainte maximum = contrainte moyenne + contrainte alternée.

On obtient donc une formulation unifiée du nombre de cycles à rupture, quel que soit R rapport de charge :

${\displaystyle \mathrm {N} =b\times \left({\sqrt {\frac {2}{1-\mathrm {R} }}}\times \mathrm {S_{a}} \right)^{-k}\$ ;\ \mathrm {S_{a}} >\mathrm {S_{aD}} \times {\sqrt {\frac {2}{1-\mathrm {R} }}}}

Dans l'acier ou du titane, la limite d'endurance S_aD est non nulle, amplitude de cycle en dessous de laquelle il n'y a plus de fatigue : la structure supporte un nombre infini de cycles.

Dans le cas général d'analyse d'une structure en fatigue, le chargement peut être constitué des cycles d'amplitudes très variées. Le chargement est décomposé en cycles partiels selon un algorithme de comptage rainflow. Son principe consiste à effectuer des appariements entre maxima et minima décroissants. À chaque cycle partiel est associé un endommagement. Il existe différentes définitions du dommage ou endommagement, il peut avoir un sens physique ou conventionnel. L'endommagement conventionnel au sens de Miner est défini par le rapport entre le nombre de cycles effectués pour un chargement périodique au nombre de cycles qui entraînera la rupture sous le même chargement.

La règle de Miner, ou de Palmgren-Miner, pose que les dommages correspondants sont additifs, on parle de cumul linéaire. La rupture se produit donc lorsque la somme des dommages relatifs à chaque amplitude atteint l'unité.

Pratiquement, le principe du calcul consiste à diviser les cycles en catégories dans lesquelles les amplitudes et les périodes sont voisines et pour lesquelles on a pu estimer une fréquence d'apparition. La durée d'exploitation étant donnée, en la multipliant par cette fréquence on obtient la durée probable de la catégorie. En divisant cette durée par la moyenne des périodes correspondantes, on obtient un nombre de cycles qui permet de calculer un dommage partiel. Il ne reste plus qu'à additionner les dommages partiels et vérifier que la somme est inférieure à l'unité.

La règle de Miner suppose qu'il n' y a pas d'influence de la chronologie d'application des charges, c'est-à-dire pas d'effet d'ordre.

Les essais de fatigue cycles de grande amplitude suivie de petite amplitude jusqu'à rupture et l'opposé petite amplitude suivie de grande amplitude montrent que le cumul n'est pas linéaire, car il est non commutatif.

Toutefois, dans de nombreux cas, les cycles d'amplitude différente sont mélangés, le cumul linéaire est le plus employé, en combinaison avec l’algorithme du rainflow pour la décomposition en cycles.

Cet algorithme, en changeant la chronologie d'application des charges, viole la non-commutativité.

On considère une barre de traction en acier, d'une section de 1 cm². Si l'on tire dessus d'un coup avec une force supérieure à 23 500 N (l'équivalent du poids d'une masse de 2,35 t), la barre présente une déformation irréversible (déformation plastique) ; elle casse pour une force de 37 000 N (l'équivalent de 3,7 t) — ce sont les valeurs garanties pour un acier standard S235, la résistance réelle est normalement un peu plus élevée.

Maintenant, supposons donc que l'on tire sur cette barre avec une force de 23 400 N (2,34 t) ; la pièce résiste sans problème et ne présente pas de déformation irréversible. Mais si l'on répète cette traction dix millions de fois, on constate que la pièce casse. On parle de rupture de fatigue.

La tour O'Higgins de 21 étages s'est partiellement effondrée à Concepción. Le tremblement de terre de 2010 au Chili a provoqué des ruptures de fatigue dans des éléments structurels[12].

• 1842 - la catastrophe ferroviaire de Meudon a été causée par la rupture de l'essieu avant de la locomotive de tête. D'après les travaux de Rankine sur l'axe cassé, la rupture serait due à une fissure de fatigue qui se serait propagée dans une zone à forte concentration de contrainte.
• 1954 - en l'espace de trois mois, deux avions De Havilland Comet (Vol BOAC 781 et Vol South African Airways 201) s'abîmèrent en mer Méditerranée à la suite d'une décompression explosive du fuselage. L'enquête menée par le Royal Aircraft Establishment établit que la fatigue du métal était la cause des accidents.
• 1980 - quatre ans après sa mise en service, la plate-forme pétrolière norvégienne Alexander L. Kielland a chaviré en pleine mer à la suite de la rupture d'une pièce de structure. Un an plus tard, le rapport d'investigation conclut à une rupture par fatigue au niveau d'une soudure[13].

• 2010 - Un autre événement plus récent a été le séisme de magnitude de moment 8.8 au Chili, au cours duquel plusieurs chercheurs de l'Université du Chili ont signalé de multiples structures en béton armé endommagées dans tout le pays par l'événement sismique. De nombreux éléments structurels tels que les poutres, les murs et les colonnes ont échoué en raison de la fatigue, exposant les renforcement du béton utilisés dans la conception avec des signes évidents de flambement longitudinal[14]^,[15]. Cet événement a entraîné la mise à jour des normes de conception sismique chiliennes sur la base des observations sur les structures endommagées causées par le séisme[16].

• Mécanique de la rupture
• Résistance des matériaux
• Catastrophe ferroviaire de Meudon

• Introduction à la fatigue sur le site du Centre Technique des Industries de la Mécanique (CETIM)
• Critère SWT
• Site consacré à la fatigue
• Site de logiciels pour la durabilité

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