Filtre en peigne

Pour obtenir la réponse en fréquence d'un système discret exprimé dans le domaine Z, on effectue la substitution ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$. Le filtre avec anticipation devient :

${\displaystyle \ H(e^{j\omega })=1+\alpha e^{-j\omega K}}$

Via la formule d'Euler, la fréquence en réponse est :

${\displaystyle \ H(e^{j\omega })=\left[1+\alpha \cos(\omega K)\right]-j\alpha \sin(\omega K)}$

La réponse en intensité, qui ignore la phase, se définit généralement comme suit :

${\displaystyle \ |H(e^{j\omega })|={\sqrt {\Re \{H(e^{j\omega })\}^{2}+\Im \{H(e^{j\omega })\}^{2}}}}$

Dans le cas d'un filtre en peigne avec anticipation, la réponse en intensité est :

${\displaystyle \ |H(e^{j\omega })|={\sqrt {(1+\alpha ^{2})+2\alpha \cos(\omega K)}}}$

${\displaystyle (1+\alpha ^{2})}$ est une constante, alors que ${\displaystyle 2\alpha \cos(\omega K)}$ varie périodiquement. La réponse en magnitude du filtre en peigne est ainsi périodique.

Les graphiques à droite montrent la réponse en magnitude pour différentes valeurs de ${\displaystyle \alpha }$ et affichent clairement la périodicité. Des propriétés importantes peuvent être observées :

• La réponse descend périodiquement jusqu'à un minimum local (creux) et monte périodiquement jusqu'à un maximum local (pic).
• Les niveaux des minima et des maxima sont toujours à égale distance de 1.
• Quand ${\displaystyle \alpha =\pm 1}$, le minimum a une amplitude nulle.
• Le maximum pour une valeur positive de ${\displaystyle \alpha }$ coïncide avec le minimum des valeurs négatives de ${\displaystyle \alpha }$ (et vice-versa).

D'après la fonction de transfert du filtre avec anticipation :

${\displaystyle \ H(z)={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}}$

on voit que le numérateur est nul lorsque ${\displaystyle z^{K}=-\alpha }$. Il existe ${\displaystyle K}$ solutions, régulièrement espacées dans le cercle du plan complexe, ce sont les zéros de la fonction de transfert. Le dénominateur est à zéro lorsque ${\displaystyle z^{K}=0}$, donnant ainsi ${\displaystyle K}$ pôles à ${\displaystyle z=0}$. La représentation graphique des pôles et des zéros est :

Avec ${\displaystyle K=8}$ et ${\displaystyle \alpha =0.5}$

Avec ${\displaystyle K=8}$ et ${\displaystyle \alpha =-0.5}$

La substitution ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$ dans l'expression du filtre en domaine Z, produit :

${\displaystyle \ H(e^{j\omega })={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega K}}}}$

La réponse en magnitude est la suivante :

${\displaystyle \ |H(e^{j\omega })|={\frac {1}{\sqrt {(1+\alpha ^{2})-2\alpha \cos(\omega K)}}}}$

Comme pour l'autre filtre, la réponse est périodique (voir graphiques à droite). Le filtre avec rétroaction a des propriétés en commun avec la forme anticipative :

• La réponse descend périodiquement jusqu'à un minimum local (creux) et monte périodiquement jusqu'à un maximum local (pic).
• Le maximum pour une valeur positive de ${\displaystyle \alpha }$ coïncide avec le minimum des valeurs négatives de ${\displaystyle \alpha }$ (et vice-versa).

Cependant, il se différencie de l'autre filtre en raison de la présence d'un terme dans le dénominateur de la réponse en intensité :

• Les niveaux des maxima et des minima ne sont plus à égale distance de 1
• Le filtre n'est stable que si ${\displaystyle |\alpha |}$ est inférieur à 1. Comme on peut le voir sur les graphiques, l'augmentation de ${\displaystyle |\alpha |}$ produit une augmentation rapide de l'intensité des pics du peigne.

D'après la fonction de transfert du filtre avec anticipation :

${\displaystyle \ H(z)={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}}$

on voit que le numérateur est nul lorsque ${\displaystyle z^{K}=0}$, produisant ainsi ${\displaystyle K}$ zéros à ${\displaystyle z=0}$. Le dénominateur est nul lorsque ${\displaystyle z^{K}=\alpha }$, ce qui donne ${\displaystyle K}$ solutions, régulièrement espacées sur le cercle complexe.

La représentation graphique des pôles et des zéros est :

Avec ${\displaystyle K=8}$ et ${\displaystyle \alpha =0.5}$

Avec ${\displaystyle K=8}$ et ${\displaystyle \alpha =-0.5}$

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• Filtre elliptique
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