Fonction de Bickley-Naylor

La fonction de Bickley-Naylor est une fonction de type exponentielle intégrale utilisée dans les problèmes de transfert radiatif utilisant une transformation de Laplace. Elle a été introduite par William G. Bickley[1] et V. D. Naylor.

Définition

Fonction Ki₁ de Bickley-Naylor.

La fonction de Bickley-Naylor d'ordre n est définie par

\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{\sin \theta }}}\sin ^{n-1}\theta \,\mathrm {d} \theta

Cette fonction est reliée à la fonction G de Meijer (en)[2] associée à la transformation de Mellin.

Les formes suivantes donnent la même fonction :

\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x}{\cos \theta }}}\cos ^{n-1}\theta \,\mathrm {d} \theta

\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-x\cosh t}}{\cosh ^{n-1}t}}\,\mathrm {d} t

\mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-xt}}{t^{n}{\sqrt {t^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} t

\mathrm {Ki} _{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{x}^{+\infty }(x-t)^{n-1}K_{0}(t)\,\mathrm {d} t

\mathrm {Ki} _{n}(x)={\frac {x^{n}}{(n-1)!}}\int _{1}^{+\infty }(x-1)^{n-1}K_{0}(xt)\,\mathrm {d} t

Dans les deux dernières définitions, $K 0 (t)$ désigne la fonction de Bessel modifiée d'ordre 0. On en déduit que $Ki 0 = K 0$ .

On connait le développement en série entière des deux premières fonctions de Bickley-Naylor :

\operatorname {Ki} _{1}(x)={\frac {\pi }{2}}+x\left(\gamma +\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}}{(k!)^{2}(2k+1)}}-x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}}{(k!)^{2}(2k+1)^{2}}}-x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}H_{k}}{(k!)^{2}(2k+1)}}

\operatorname {Ki} _{2}(x)=1-{\frac {\pi }{2}}x-{\frac {x^{2}}{2}}\left(\gamma +\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}}{k!(k+1)!(2k+1)}}+{\frac {x^{2}}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+3)(x^{2}/4)^{k}}{k!(k+1)!(2k+1)^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x^{2}/4)^{k}H_{k}}{k!(k+1)!(2k+1)}}

Les fonctions de Bickley-Naylor vérifient la relation de récurrence[3]:

n\operatorname {Ki} _{n+1}(x)=(n-1)\operatorname {Ki} _{n-1}(x)-x\operatorname {Ki} _{n}(x)+x\operatorname {Ki} _{n-2}(x),~~~~~n\geq 2

where $\operatorname {Ki} _{0}(x)=\operatorname {K} _{0}(x)$ .

Par dérivation, on trouve que, pour tout n :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {Ki} _{n+1}(x)=-\operatorname {Ki} _{n}(x)

dont on déduit

\forall n\in \mathbb {N} ,\ {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\operatorname {Ki} _{n}(x)=(-1)^{n}\operatorname {K} _{0}(x)

Les fonctions de Bickley-Naylor ont pour développement asymptotique[4]

\operatorname {Ki} _{n}(x)\approx {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}\mathrm {e} ^{-x}\left\{1-{\frac {(1+4n)}{8x}}+{\frac {3(3+24n+16n^{2})}{2!(8x)^{2}}}\right\}

(en) G. S. Marliss et W. A. Murray, « An appreciation », The Computer Journal, vol. 12, n^o 4,‎ janvier 1969, p. 301–302 (DOI 10.1093/comjnl/12.4.301, lire en ligne)
(en) W. Magnus, F. Oberhettinger et F. G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, McGraw Hill, 1953 (lire en ligne)
M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, pp. 483, Dover Publications Inc., (1972).
(en) M. S. Milgram, « Analytic method for the numerical solution of the integral transport equation for a homogeneous cylinder », Nucl. Sci. Eng., n^o 68,‎ 1978, p. 249-269.

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