Transformation de Mellin

La transformée de Mellin d'une fonction f définie et continue par morceaux sur ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$ est la fonction notée ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}}$ ou ${\displaystyle {\mathcal {M}}\left\{f(x)\right\}}$ et définie par l'intégrale généralisée :

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,\mathrm {d} x}$.

Une condition suffisante d'existence de la transformée est donnée par le résultat suivant[1] :

Plus généralement, si

• f est continue sur ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$ ;
• pour des nombres réels α < β,
  • ${\displaystyle f(x)=O(x^{-\alpha })}$ quand ${\displaystyle x\to 0}$ et
  • ${\displaystyle f(x)=O(x^{-\beta })}$ quand ${\displaystyle x\to +\infty }$,

alors l'intégrale généralisée ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,\mathrm {d} x}$ converge absolument pour α < Re (s) < β et définit une fonction holomorphe sur la bande α < Re (s) < β.

• La transformée d'une distribution de Dirac ${\displaystyle \delta (x-a)}$, avec a > 0, est une fonction exponentielle ${\displaystyle s\mapsto a^{s-1}}$.
• La transformée de Mellin de la fonction ${\displaystyle f\,:\,x\mapsto \mathrm {H} (a-x)}$, avec a > 0, est la fonction ${\displaystyle s\mapsto {\frac {a^{s}}{s}}}$ sur le demi-plan Re (s) > 0
  (où H est la fonction de Heaviside, f (x) = 1 si 0 < x < a et f (x) = 0 si x > a).
• La transformée de Mellin de la fonction ${\displaystyle x\mapsto \mathrm {e} ^{-ax}}$, avec a > 0, est la fonction ${\displaystyle s\mapsto {\frac {\Gamma (s)}{a^{s}}}}$ sur le demi-plan Re (s) > 0
  (${\displaystyle \Gamma }$ est la fonction gamma d'Euler).
• La transformée de Mellin de la fonction ${\displaystyle x\mapsto \mathrm {e} ^{-x^{2}}}$ est la fonction ${\displaystyle s\mapsto {\frac {\Gamma (s/2)}{2}}}$ sur le demi-plan Re (s) > 0.
• La transformée de Mellin de la fonction ${\displaystyle \sin }$ est la fonction ${\displaystyle s\mapsto {\Gamma (s)}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}$ sur la bande –1 < Re (s) < 1
  (l'intégrale généralisée est semi-convergente si Re (s) ≥ 0).
• La transformée de Mellin de la fonction ${\displaystyle \cos }$ est la fonction ${\displaystyle s\mapsto {\Gamma (s)}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}$ sur la bande 0 < Re (s) < 1
  (l'intégrale généralisée est semi-convergente).
• La transformée de Mellin de la fonction ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{1+x}}}$ est la fonction ${\displaystyle s\mapsto {\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}}$ sur la bande 0 < Re (s) < 1[2].
• Plus généralement, la transformée de Mellin de la fonction ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{(1+x)^{a}}}}$ est la fonction ${\displaystyle s\mapsto \mathrm {B} (s,a-s)}$ sur la bande 0 < Re (s) < Re (a)
  (${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$ est la fonction bêta).
• La transformée de Mellin de la fonction ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{1+x^{2}}}}$ est la fonction ${\displaystyle s\mapsto {\frac {\pi /2}{\sin(\pi s/2)}}}$ sur la bande 0 < Re (s) < 2[3].
• La transformée de Mellin de la fonction ${\displaystyle x\mapsto \ln(1+x)}$ est la fonction ${\displaystyle s\mapsto {\frac {\pi }{s\sin(\pi s)}}}$ sur la bande –1 < Re (s) < 0[2].
• La transformée de Mellin de la fonction ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{\mathrm {e} ^{x}-1}}}$ est la fonction ${\displaystyle s\mapsto \Gamma (s)\zeta (s)}$ sur le demi-plan Re (s) > 1
  (${\displaystyle \zeta }$ est la fonction zêta de Riemann).

La transformation inverse est

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}\left\{\varphi \right\}(x)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }x^{-s}\varphi (s)\,\mathrm {d} s}$.

La notation suppose que c'est une intégrale curviligne s'appliquant sur une droite verticale dans le plan complexe.

Théorème — On suppose que[1] :

• f est continue sur ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$ ;
• pour un nombre réel ${\displaystyle \alpha ,\qquad f(x)=O(x^{-\alpha })}$ quand ${\displaystyle x\to 0}$ ;
• ${\displaystyle \forall \beta \in \mathbb {R} _{+}\,f(x)=O(x^{-\beta })}$ quand ${\displaystyle x\to +\infty }$ (f  tend vers 0 plus vite que toute puissance (négative) de x quand ${\displaystyle x\to +\infty }$).

On a la formule d'inversion de Mellin valide pour tout ${\displaystyle c>\alpha }$ et tout x > 0 :

${\displaystyle f(x)={\mathcal {M}}^{-1}\left\{{\mathcal {M}}_{f}\right\}(x)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }x^{-s}{\mathcal {M}}_{f}(s)\,\mathrm {d} s}$.

Pour ${\displaystyle c>0}$, ${\displaystyle \Re (y)>0}$ et ${\displaystyle y^{-s}}$ sur la branche principale, on a

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-y}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }\Gamma (s)y^{-s}\;\mathrm {d} s}$.

Cette intégrale est connue sous le nom d'intégrale de Cahen-Mellin[4].

• La formule de Perron décrit la transformation de Mellin inverse appliquée aux séries de Dirichlet.
• La transformation de Mellin est utilisée dans certaines preuves de la fonction de compte des nombres premiers et apparaît dans les discussions de la fonction zêta de Riemann.
• La transformation de Mellin inverse apparaît communément dans la moyenne de Riesz.
• On utilise souvent les transformées de Mellin pour le calcul analytique de toute une variété de sommes de réseaux, qui s'expriment sous forme de diverses fonctions spéciales comme les fonctions thêta de Jacobi ou la fonction zêta de Riemann[5].