Formule de Perron

Soit ${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$ pour ${\displaystyle \sigma >\sigma _{c}}$, d'abscisse de convergence absolue finie ${\displaystyle \sigma _{a}}$.

Alors on a[1], si ${\displaystyle x\geq 1,T\geq 1,c>\max(0,\sigma _{a}),}$

${\displaystyle \sum _{n\leq x}a(n)={\frac {1}{2i\pi }}\int _{c-iT}^{c+iT}f(u){\frac {x^{u}}{u}}\;du+O\left(x^{c}\sum _{n\geq 1}{\frac {|a_{n}|}{n^{c}(1+T|\ln(x/n)|)}}\right).}$

Soit ${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$ pour ${\displaystyle \sigma >\sigma _{c}}$, d'abscisse de convergence absolue finie ${\displaystyle \sigma _{a}}$, et où ${\displaystyle |a_{n}|\leq \psi (n),}$ pour une fonction ${\displaystyle \psi (n)}$ croissante (au sens large).

On suppose de plus que, pour un nombre réel ${\displaystyle \alpha \geq 0}$,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a(n)|}{n^{\sigma }}}=O\left({\frac {1}{(\sigma -\sigma _{a})^{\alpha }}}\right)}$ quand ${\displaystyle \sigma _{a}<\sigma \leq \sigma _{a}+1.}$

Alors on a[1], si ${\displaystyle x\geq 2,T\geq 2,\sigma \leq \sigma _{a},c:=\sigma _{a}-\sigma +1/\ln x,}$

${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {a(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{c-iT}^{c+iT}f(u+s){\frac {x^{u}}{u}}\;du+O\left(x^{\sigma _{a}-\sigma }{\frac {(\ln x)^{\alpha }}{T}}+{\frac {\psi (2x)}{x^{\sigma }}}\left(1+x{\frac {\ln T}{T}}\right)\right).}$