Fonction de Bessel

Pour les valeurs entières de α = n, les fonctions de Bessel de première espèce J_n sont définies par la série entière (de rayon de convergence infini) suivante[2] :

${\displaystyle J_{n}(x)=\sum _{p=0}^{\infty }{(-1)^{p} \over p!(n+p)!}{\left({x \over 2}\right)}^{2p+n}}$.

Plus généralement, pour α non entier, on a le développement analogue

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}}{p!\,\Gamma (p+\alpha +1)}}{\left({x \over 2}\right)}^{2p+\alpha }}$

où Γ(z) est la fonction gamma, généralisant la fonction factorielle à des valeurs non entières.

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce, également appelées fonctions de Neumann ou encore fonctions de Weber-Schläfli, sont définies par :

${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\lambda \to n}{J_{\lambda }(x)\cos(\lambda \pi )-J_{-\lambda }(x) \over \sin(\lambda \pi )}}$.

• Relations de récurrence[8] :

  ${\displaystyle J_{\alpha -1}(z)+J_{\alpha +1}(z)={2\alpha \over z}J_{\alpha }(z)}$,

  ${\displaystyle J_{\alpha -1}(z)-J_{\alpha +1}(z)=2J'_{\alpha }(z)}$,

  ${\displaystyle J'_{\alpha }(z)=J_{\alpha -1}(z)-{\alpha \over z}J_{\alpha }(z)=-J_{\alpha +1}(z)+{\alpha \over z}J_{\alpha }(z)}$.

• On en déduit :

  ${\displaystyle J_{1}(x)=-J_{0}'(x)}$,

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n}J_{n}(x))=x^{n}J_{n-1}(x)}$.

• Orthogonalité :

  ${\displaystyle \lambda _{i}}$ et ${\displaystyle \lambda _{j}}$ étant deux zéros distincts de ${\displaystyle J_{n}}$, on a : ${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{n}(\lambda _{i}x)J_{n}(\lambda _{j}x)\,\mathrm {d} x=0}$.

J_n est souvent défini par l'intermédiaire d'une série de Laurent, correspondant à la fonction génératrice :

${\displaystyle {\rm {e}}^{(x/2)(t-1/t)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$ ;

cette approche est celle de Peter Andreas Hansen en 1843. Elle peut se généraliser à des ordres n non entiers, par l'intermédiaire, par exemple, d'intégrales de contour.

Des développements analogues; mais utilisant des séries trigonométriques, sont dus à Jacobi et Anger ; on a[9]

${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}z\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\rm {i}}^{n}J_{n}(z){\rm {e}}^{{\rm {i}}n\phi },}$

et

${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}z\sin \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z){\rm {e}}^{{\rm {i}}n\phi }.}$

Les fonctions de Bessel ont les formes asymptotiques suivantes (pour α > 0). Près de 0 (et plus précisément pour ${\displaystyle 0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$), on a[6] :

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\approx {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\approx {\begin{cases}\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\left[\ln \left({\frac {x}{2}}\right)+\gamma \right]&{\text{si }}\alpha =0\\\displaystyle -{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{si }}\alpha >0\end{cases}}}$

où γ est la constante d'Euler-Mascheroni (0,577…) et Γ est la fonction gamma. Pour x tendant vers l'infini (et plus précisément pour ${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$), ces développements deviennent[6] :

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$.

La forme asymptotique ci-dessus pour J_α est aussi un équivalent pour x (complexe non nul) fixé, quand α tend vers +∞. Autrement dit[10] :

${\displaystyle J_{\alpha }(x){\underset {\overset {\alpha \to +\infty }{}}{\sim }}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha }}}\left({\frac {\mathrm {e} \,x}{2\alpha }}\right)^{\alpha }}$.

Comme J_α est une solution non nulle d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2, ses zéros (à l'exception éventuelle de 0) sont simples[11], donc (cf. Relations de récurrence ci-dessus) différents de ceux de J_α+1.