Fonction de Pearson

La densité de probabilité ƒ, pour x réel, vaut :

${\displaystyle f(x)=k\cdot \left[1+\left({\frac {x-\lambda }{a}}\right)^{2}\right]^{-m}\cdot \exp \left[-\nu \cdot \tan ^{-1}\left({\frac {x-\lambda }{a}}\right)\right]}$

où

• m, ν, a et λ sont des réels ;
• m > 1/2 ;
• k est un facteur de normalisation.

La fonction est invariante si l'on change simultanément le signe de a et de ν, on prend donc par convention

a > 0.

Si m ≤ 1/2, la fonction n'est pas normalisable.

La fonction de Pearson IV est en fait une version asymétrique de la loi de Student ; de fait, on retrouve la loi de Student avec 2m-1 degrés de liberté pour ν=0.

Pour m = 1, la distribution de Pearson IV est une forme asymétrique de la loi de Cauchy (ou distribution de Breit-Wigner).

La fonction a un mode (sommet) unique placé en

${\displaystyle x_{m}=\lambda -{\frac {a\nu }{2m}}}$

elle présente deux points d'inflexion situés en

${\displaystyle x_{i+/-}=x_{m}\pm {\frac {a}{2m}}{\sqrt {\frac {4m^{2}+\nu ^{2}}{2m+1}}}}$.

Sa moyenne vaut

${\displaystyle \langle x\rangle =\lambda -{\frac {a\nu }{r}}}$ pour m > 1

en posant

r = 2(m - 1).

La moyenne est infinie si ν=0 et m ≤ 1.

Sa variance vaut

${\displaystyle \mu _{2}={\frac {a^{2}}{r^{2}(r-1)}}(r^{2}+\nu ^{2})}$ pour m > 3/2.

La variance est infinie si m ≤ 3/2.

Le facteur de normalisation vaut :

${\displaystyle k={\frac {2^{2m-2}|\Gamma (m+i\nu /2)|^{2}}{\pi a\Gamma (r+1)}}}$

où Γ est la fonction Gamma d'Euler.

La VII^e fonction de Pearson est définie, pour x entier, par

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\left[1+\left({\frac {2(x-x_{0})\cdot {\sqrt {2^{1/M}-1}}}{w}}\right)^{2}\right]^{M}}}}$

où M est le paramètre de forme, ou « largeur de Pearson ».

On écrit parfois une expression simplifiée :

${\displaystyle f(x)=\left[1+K^{2}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{M}}\right]^{-M}}$

On a

• M < 1 : distribution dite super lorentzienne ;
• M = 1 : distribution de Cauchy/Lorentz (lorentzienne)/Breit-Wigner ;
• M = ∞ : distribution de Gauss-Laplace (gaussienne, loi normale).

Elle est utilisée en radiocristallographie pour modéliser le profil des pics de diffraction (voir aussi Fonction de Voigt).