Loi de Student

Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variable indépendante de Z et distribuée suivant la loi du χ² à k degrés de liberté. Par définition, la variable

${\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {U/k}}}}$

suit une loi de Student à k degrés de liberté.

${\displaystyle U=\sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}}$, alors ${\displaystyle U\sim \chi _{k}^{2}}$, où les X_i sont k variables aléatoires réelles i.i.d. de loi normale centrée-réduite.

La densité de T, notée f_T, est donnée par :

${\displaystyle f_{T}(t)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{k}}\right)^{-{\frac {k+1}{2}}},\;{\textrm {pour}}\;k>0}$.

où Γ est la fonction Gamma d'Euler.

La densité f_T associée à la variable T est symétrique, centrée en 0 et en forme de cloche.

Son espérance ne peut pas être définie pour k = 1, et est nulle pour k > 1.

Sa variance est infinie pour k = 2 et vaut k/k – 2 pour k > 2.

Le calcul de la loi de Student a été décrit en 1908 par William Gosset[1] alors qu'il était employé à la brasserie Guinness à Dublin. Son patron, sans doute pour des raisons liées à la concurrence, interdisait à ses employés de publier sous leur propre nom. Pour cette raison Gosset choisit un pseudonyme, Student, qui, en anglais, signifie étudiant. Le test t et la théorie sont devenus célèbres par les travaux de Ronald Fisher qui a donné à la loi le nom de « loi de Student »[2]^,[3].

Soient X₁, ..., X_n, n variables aléatoires mutuellement indépendantes et distribuées suivant une même loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ d’espérance μ et de variance σ² qui correspondent à un échantillon de taille n. Considérons la moyenne empirique

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

et l'estimateur sans biais de la variance

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}$.

Par normalisation, la variable aléatoire

${\displaystyle Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

suit une loi normale standard (d’espérance 0 et de variance 1). La variable aléatoire obtenue en remplaçant σ par S dans ${\displaystyle Z}$ est

${\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$,

${\displaystyle T}$ suit la loi de Student à n – 1 degrés de liberté. Ce résultat est utile pour trouver des intervalles de confiance quand σ² est inconnue, comme indiqué plus bas.

Pour justifier cela, on introduit la variable aléatoire

${\displaystyle U={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}$

qui permet d'écrire ${\displaystyle {\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {U}{n-1}}}$ et

${\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}{\frac {1}{S/\sigma }}={\frac {Z}{\sqrt {U/(n-1)}}}}$

Pour terminer il faut montrer que Z et U sont indépendantes et que U suit une loi du χ² à n – 1 degrés de liberté. C'est précisément ce que montre le Théorème de Cochran.

Remarquons la perte d'un degré de liberté car même s'il y a n variables aléatoires X_i indépendantes, les ${\displaystyle X_{i}-{\overline {X}}}$ ne le sont pas puisque leur somme fait 0.

Ce chapitre présente une méthode pour déterminer l'intervalle de confiance de l’espérance μ d’une loi normale. Notons que si la variance est connue, il vaut mieux utiliser directement la loi normale avec la moyenne ${\displaystyle {\overline {X}}}$.

avec ${\displaystyle {\overline {X}}}$, l'estimateur ponctuel de l'espérance et ${\displaystyle S}$, l'estimateur non biaisé de l'écart-type définis ci-dessus.

${\displaystyle t_{\gamma }^{k}}$ est le quantile d’ordre ${\displaystyle 1-\gamma }$ de la loi de Student à k degrés de liberté, c'est l'unique nombre qui vérifie

${\displaystyle \mathbb {P} (T\leq t_{\gamma }^{k})=1-\gamma }$

lorsque T suit la loi de Student à k degrés de liberté.

Par exemple, voici les tailles mesurées en cm sur un échantillon de 8 personnes

i	1	2	3	4	5	6	7	8
${\displaystyle x_{i}}$	155	160	161	167	171	177	180	181

on en calcule la moyenne statistique ${\displaystyle {\overline {x}}}$ et la variance sans biais ${\displaystyle s^{2}}$ :

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{8}}\sum _{i=1}^{8}x_{i}=169}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{7}}\sum _{i=1}^{8}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}=96{,}{\underline {857142}}}$

Prenons un risque ${\displaystyle \alpha =10\%}$, donc un niveau de confiance ${\displaystyle 1-\alpha =90\%}$. Aux arrondis près, le tableau des quantiles ci-dessous donne ${\displaystyle t_{5\%}^{7}=1{,}895}$, et l'intervalle de confiance est

${\displaystyle \left[{\overline {x}}-t_{5\%}^{7}{\frac {s}{\sqrt {8}}};{\overline {x}}+t_{5\%}^{7}{\frac {s}{\sqrt {8}}}\right]=\left[162{,}4;175{,}6\right].}$

La probabilité que la taille moyenne de la population soit dans cet intervalle est de 95 %. Or la taille moyenne des français est de 177 cm, mais 177 n'appartient pas à cet intervalle de confiance, on peut alors dire que cet échantillon ne correspond pas à la population française, avec 10 % d'erreur. C'est un exemple d'application du test de Student.

Le graphique suivant illustre la notion de niveau de confiance en tant qu'intégrale de la fonction ${\displaystyle f_{T}}$ pour ${\displaystyle k=7}$, représentée par l'aire de la zone en bleu.

En résumé, pour un échantillon ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$ d’une loi normale d'espérance μ, l’intervalle de confiance de μ au niveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ est :

${\displaystyle \left[\,{\overline {x}}-t_{\alpha /2}^{n-1}{\frac {s}{\sqrt {n}}},{\overline {x}}+t_{\alpha /2}^{n-1}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\,\right]}$,

avec

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$,

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}$,

et ${\displaystyle t_{\gamma }^{k}}$ le quantile d’ordre ${\displaystyle 1-\gamma }$ de la loi de Student à k degrés de liberté.

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {t} (k=1)~}$ suit une loi de Cauchy : ${\displaystyle X\sim \operatorname {Cauchy} (0,1)}$.
• ${\displaystyle \mathrm {t} (k)\,{\xrightarrow {\mathcal {L}}}\,{\mathcal {N}}(0,1)}$ : la loi de Student converge en loi vers la loi normale.
• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {t} (k)\!}$ suit une loi de Student alors X² suit une loi de Fisher : ${\displaystyle X^{2}\sim \operatorname {F} (\nu _{1}=1,\nu _{2}=k)}$
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {t} (k)~}$ a une loi de Student si ${\displaystyle \sigma ^{2}\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(k,1)\!}$ suit une loi inverse-χ² et ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\!}$ suit une loi normale.

Le tableau suivant fournit les valeurs de certains quantiles de la loi de Student pour différents degrés de liberté k. Pour chaque valeur de ${\displaystyle 1-\alpha }$, le quantile donné est tel que la probabilité pour qu'une variable suivant une loi de Student à k degrés de liberté lui soit inférieur est de ${\displaystyle 1-\alpha }$. Ainsi, pour ${\displaystyle 1-\alpha =0{,}95}$ et k = 7, si T suit une loi de Student à 7 degrés de liberté, on lit dans la table que ${\displaystyle \mathbb {P} (T\leq 1{,}895)=0{,}95}$. Pour un intervalle de pari bilatéral à 95 %, on prendra le quantile à 97,5 % : ${\displaystyle \mathbb {P} (T\in [-2{,}365;2{,}365])=0{,}95}$.

Notons également que si l'on note ${\displaystyle t_{\alpha }^{k}}$ le quantile d'ordre ${\displaystyle 1-\alpha }$ de la loi de Student à k degrés de liberté alors on a ${\displaystyle t_{\alpha }^{k}=-t_{1-\alpha }^{k}}$. Avec l'exemple précédent, on a ${\displaystyle \mathbb {P} (T\leq 1{,}895)=0{,}95}$ et ${\displaystyle \mathbb {P} (T\leq -1{,}895)=0{,}05}$

Un tableur standard permet de calculer ces quantiles de manière plus précise, par exemple LOI.STUDENT.INVERSE(0,95;7) donne ${\displaystyle 1{,}89457860509001}$. On obtient la même valeur avec la commande qt(0.95,7) du logiciel R. En général qt(${\displaystyle 1-\alpha }$,${\displaystyle k}$) donne ${\displaystyle t_{\alpha }^{k}}$.

Remarque : la dernière ligne du tableau ci-dessus correspond aux grandes valeurs de k. Il s’agit d’un cas limite pour lequel la loi de Student est équivalente à la loi normale centrée et réduite.