Lemme de Scheffé

Le lemme de Scheffé est un critère de convergence en loi concernant les suites de variables aléatoires à densité.

Énoncé et démonstration

Lemme de Scheffé — Soit $(f_{n})_{n\geq 0}\$ une suite de fonctions mesurables définies sur le même espace mesuré $(E,{\mathcal {E}},\mu )\$ . Supposons que $(f_{n})_{n\geq 0}\$ converge $\mu$ -presque partout vers une fonction $f\$ et que la suite $\left(\int _{E}f_{n}\,\mathrm {d} \mu \right)_{n\geq 0}\$ converge vers $\int _{E}fd\mu \$ . Alors $(f_{n})_{n}\$ converge vers $f\$ dans $L^{1}$

Démonstration

On a

{\begin{aligned}\Vert f-f_{n}\Vert _{1}&=\int _{E}\left(f-f_{n}\right)_{+}d\mu \ +\ \int _{E}\left(f-f_{n}\right)_{-}d\mu \\&=2\int _{E}\left(f-f_{n}\right)_{+}d\mu \ -\ \int _{E}\left(f-f_{n}\right)d\mu \end{aligned}}

Mais

0\leq \left(f-f_{n}\right)_{+}\leq f.

Or $f\$ est intégrable, et, par hypothèse, $\left(f-f_{n}\right)_{+}\$ converge vers 0 $μ$ -p.p., ce qui permet de conclure, à l'aide du théorème de convergence dominée, que

\lim _{n}\int _{E}\left(f-f_{n}\right)_{+}d\mu \ =\ 0.

En conséquence,

\lim _{n}\Vert f-f_{n}\Vert _{1}\ =\ -\lim _{n}\int _{E}\left(f-f_{n}\right)d\mu =0.

Corollaire — Soit $(f_{n})_{n\geq 0}\$ une suite de densités de probabilité définies sur le même ensemble $E$ et par rapport à la même mesure $μ$ sur l'espace mesurable $(E,{\mathcal {E}})\$ . Supposons que $(f_{n})_{n\geq 0}\$ converge $μ$ -presque partout vers une densité de probabilité $f$ . Alors

$(f_{n})_{n}\$ converge vers $f\$ dans $L^{1}$
si les variables aléatoires $X n$ et $X$ ont pour densités respectives $(f_{n})_{n}\$ et $f,\$ alors $X n$ converge en loi vers $X$

Démonstration

Le premier point est une conséquence immédiate du lemme précédent. Pour le deuxième point, notons que pour $φ$ continue bornée sur $E$ on a

{\begin{aligned}\left|\mathbb {E} [\varphi (X_{n})]-\mathbb {E} [\varphi (X)]\right|&=\left|\int _{E}\varphi f_{n}d\mu -\int _{E}\varphi fd\mu \right|\\&\leq \Vert \varphi \Vert _{\infty }\Vert f_{n}-f\Vert _{1}.\end{aligned}}

Par suite

\lim _{n}\mathbb {E} [\varphi (X_{n})]=\ \mathbb {E} [\varphi (X)],

ce qui caractérise bien la convergence en loi de $X n$ vers $X$ .

Remarques.

De manière un peu surprenante, lorsque des fonctions sont positives et ont la même intégrale, on est donc affranchi des hypothèses habituelles de majoration uniforme de l'erreur apparaissant dans le théorème de convergence dominée.
En général, on applique le lemme de Scheffé dans le cas où $\ E=\mathbb {R} ^{d}\$ et où la mesure $μ$ est la mesure de Lebesgue : les variables aléatoires apparaissant dans le lemme sont alors des variables "à densité".
Un autre cadre d'application du lemme de Scheffé concerne des densités par rapport à la mesure de comptage $μ$ sur $E=\mathbb {Z} ^{d}\$ : les variables aléatoires apparaissant dans le lemme sont alors des variables "discrètes" et la densité $f_{n}\$ de $X n$ est définie, pour $k\in \mathbb {Z} ^{d},\$ par

f_{n}(k)\ =\ \mathbb {P} \left(X_{n}=k\right).

Dans ce cadre, il découle du lemme de Scheffé que

X n

converge en loi vers

X

si (et seulement si) :

\forall k\in \mathbb {Z} ^{d},\qquad \lim _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}=k\right)\ =\ \mathbb {P} \left(X=k\right).

Sous les hypothèses du lemme de Scheffé, on obtient en fait une convergence plus forte que la convergence en loi :

\forall A\in {\mathcal {E}},\quad \left|\mathbb {P} \left(X_{n}\in A\right)-\mathbb {P} \left(X\in A\right)\right|\ \leq \ \Vert f_{n}-f\Vert _{1}.

La convergence des probabilités est donc uniforme sur

{\mathcal {E}}.\

Pourtant, la convergence en loi, d'ordinaire, ne s'accompagne pas forcément d'une convergence simple (ni, a fortiori, d'une convergence uniforme) sur

{\mathcal {E}}\

: par exemple, si

Y

est gaussien standard, si

X_{n}=Y/n,\quad A=\{0\},\

alors

\lim _{n}\mathbb {P} \left(X_{n}\in A\right)=0\neq 1=\mathbb {P} \left(0\in A\right),

alors que, pour autant,

X n

converge en loi vers 0.

Convergence de la loi de Student vers la loi normale

Un exemple d'application est la convergence de la loi de Student vers la loi normale. Pour k ≥ 1, la loi de Student à k degrés de liberté a pour densité

f_{k}(t)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {t^{2}}{k}}\right)^{\frac {k+1}{2}}}},

où $Γ$ désigne la fonction Gamma d'Euler. On a classiquement, pour tout $t\in \mathbb {R} ,$ [1]

\lim _{k}\left(1+{\frac {t}{k}}\right)^{k}=\mathrm {e} ^{t},

et donc

{\begin{aligned}\lim _{k}{\frac {1}{\left(1+{\tfrac {t^{2}}{k}}\right)^{\tfrac {k+1}{2}}}}&=\lim _{k}{\frac {1}{\left(1+{\tfrac {t^{2}}{k}}\right)^{\tfrac {k}{2}}}}\times \lim _{k}\left(1+{\tfrac {t^{2}}{k}}\right)^{-{\tfrac {1}{2}}}\\&=\left(\lim _{k}\left(1+{\tfrac {t^{2}}{k}}\right)^{k}\right)^{-{\tfrac {1}{2}}}=\mathrm {e} ^{-t^{2}/2}.\end{aligned}}

On a aussi[2]

\lim _{t\uparrow +\infty }{\frac {\Gamma (t+\alpha )}{\Gamma (t)t^{\alpha }}}=1,

d'où, en posant $t = k / 2$

\lim _{k}{\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}\ {\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \lim _{t\uparrow +\infty }{\frac {\Gamma (t+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (t){\sqrt {t}}}}\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}.

Donc

\lim _{k}f_{k}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ e^{-t^{2}/2}.

CQFD

Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson

Pour $n \geq 1$ et $0 \leq p n \leq 1$ , la loi binomiale de paramètres $n$ et $p n$ a pour densité, par rapport à la mesure de comptage sur $\mathbb {Z} ,\$ la fonction $(f n)$ définie sur $\mathbb {Z} \$ par

f_{n}(k)\ =\ {n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}\ 1_{0\leq k\leq n}.

La suite $(f n)$ converge simplement vers la fonction $f$ définie par :

f(k)\ =\mathrm {e} ^{-\lambda }\ {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\ 1_{k\geq 0},

dès que

\lim _{n}n\,p_{n}\ =\ \lambda ,\quad \ \lambda >0.

Ainsi, en conséquence du lemme de Scheffé, dès que $\lim _{n}n\,p_{n}\ =\ \lambda >0,\$ , la loi binomiale de paramètres $n$ et $p n$ converge vers la loi de Poisson de paramètre $λ$ .

Variante discrète

Sous certaines conditions, on peut adapter le lemme de Scheffé pour démontrer la convergence de lois discrètes vers des lois à densité. Pour un vecteur $x\in \mathbb {R} ^{d}$ , notons $\left\lfloor x\right\rfloor \$ le vecteur de coordonnées $\left\lfloor x_{i}\right\rfloor \$ , $1\leq i\leq d$ . Alors

Lemme de Scheffé discret — On se donne une suite de v.a. $(X_{n})_{n}\$ à valeurs dans $\mathbb {Z} ^{d}$ , une suite $a_{n}$ , tendant vers $+\infty$ , de réels strictement positifs, et une densité de probabilité $f$ sur $\mathbb {R} ^{d}$ . Si p.p. en $x$ on a

\lim _{n}a_{n}^{d}\ \mathbb {P} \left(X_{n}=\left\lfloor a_{n}x\right\rfloor \right)=f(x),

$X n / a n$ converge faiblement vers $f(x)dx$ .

Démonstration

Considérons la fonction

f_{n}(x)=a_{n}^{d}\ \mathbb {P} \left(X_{n}=\left\lfloor a_{n}x\right\rfloor \right).

C'est une densité de probabilité par rapport à la mesure de Lebesgue (notée $μ$ ) sur $\mathbb {R} ^{d}$ . Par exemple, si $U$ est une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,1] d$ , indépendante de $X n$ , alors $f_{n}$ est la densité de

Y_{n}={\frac {X_{n}+U}{a_{n}}}.

Le lemme de Scheffé ordinaire montre que $Y n$ converge en loi vers $f$ . Mais, pour n'importe quelle norme sur $\mathbb {R} ^{d}$ ,

\left\Vert Y_{n}-{\frac {X_{n}}{a_{n}}}\right\Vert \ =\ {\mathcal {O}}\left({\frac {1}{a_{n}}}\right),

donc, en vertu du théorème de Slutsky, $X_{n}/a_{n}$ aussi converge faiblement vers $f(x)dx$ .

Une fois cette dernière démonstration faite, le lemme de Scheffé discret dispense de trouver une majoration du terme d'erreur

\left|a_{n}^{d}\ \mathbb {P} \left(X_{n}=\left\lfloor a_{n}x\right\rfloor \right)-f(x)\right|,

uniforme pour $x\in A,$ ce qui serait une manière plus lourde de montrer que

\lim _{n}\ \mathbb {P} \left(X_{n}/a_{n}\in A\right)\ =\ \lim _{n}\ \sum _{k\in (a_{n}\,A)\cap \mathbb {Z} ^{d}}\ \mathbb {P} \left(X_{n}=k\right)\ =\ \int _{A}\ f(x)dx.

Habituellement, un contrôle uniforme de la rapidité de convergence des termes de la somme est nécessaire pour assurer la convergence du terme de gauche de l'égalité (le terme de gauche est une somme finie dont le nombre de termes tend vers l'infini) vers l'intégrale limite. Dans ce cas précis, grâce au lemme de Scheffé, la convergence des termes de la somme, renormalisés, suffit pour assurer la convergence du terme de gauche de l'égalité.

Distance entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire

La loi de la distance $D n$ entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire, est donnée, pour $0\ \leq \ k\ \leq \ n-1,\$ par

\mathbb {P} \left(D_{n}=k\right)\ =\ {\frac {(k+1)\times (n)_{\downarrow k+1}}{n^{k+2}}}.

En vertu de la bijection de Joyal, c'est aussi la loi du nombre de points cycliques d'une application de $[\![1,n]\!]$ dans $[\![1,n]\!].\$ Cette loi discrète apparaît aussi dans des problèmes d'allocations (boules et urnes), dont le fameux problème des anniversaires. Lorsqu'on alloue séquentiellement des boules dans un ensemble de n urnes, avec équiprobabilité, ce qui revient à considérer un univers probabiliste $\Omega \ =\ [\![1,n]\!]^{\mathbb {N} },\$ le rang $T_{n}(\omega )\$ de la première boule à être allouée dans une urne non vide suit la même loi que $2 + D n$ : pour $2\ \leq \ k\ \leq \ n+1,\$

\mathbb {P} \left(T_{n}=k\right)\ =\ \mathbb {P} \left(D_{n}=k-2\right).

On peut montrer, à l'aide du lemme de Scheffé, que

Proposition — $D_{n}/{\sqrt {n}}$ converge en loi vers la loi de Rayleigh.

Démonstration

En effet, pour un nombre réel x strictement positif,

{\begin{aligned}\mathbb {P} \left(D_{n}=\left\lfloor x{\sqrt {n}}\right\rfloor \right)&=\ {\frac {(\left\lfloor x{\sqrt {n}}\right\rfloor +1)\times (n)_{\downarrow \left\lfloor x{\sqrt {n}}\right\rfloor +1}}{n^{\left\lfloor x{\sqrt {n}}\right\rfloor +2}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {n}}}\ \ {\frac {\left\lfloor x{\sqrt {n}}\right\rfloor +1}{\sqrt {n}}}\ \prod _{k=0}^{\left\lfloor x{\sqrt {n}}\right\rfloor }\,\left(1-{\frac {k}{n}}\right)\\&\simeq {\frac {1}{\sqrt {n}}}\ \ x\ \prod _{k=0}^{\left\lfloor x{\sqrt {n}}\right\rfloor }\,\left(1-{\frac {k}{n}}\right)\\&\simeq {\frac {1}{\sqrt {n}}}\ \ x\ \exp \left(-{\mathcal {H}}_{n,\left\lfloor x{\sqrt {n}}\right\rfloor }\right),\end{aligned}}

où

{\mathcal {H}}_{n,\ell }=-\sum _{k=0}^{\ell }\ln \left(1-{\frac {k}{n}}\right),

et pour $\ell \$ suffisamment petit,

{\mathcal {H}}_{n,\ell }\simeq \ \sum _{k=0}^{\ell }\ {\frac {k}{n}}\simeq \ {\frac {\ell ^{2}}{2n}}.

Plus précisément, pour $0\,\leq \,\ell \,\leq \,n/2,\$

\left|{\mathcal {H}}_{n,\ell }\ -\ \sum _{k=0}^{\ell }\ {\frac {k}{n}}\right|\ \leq \ \sum _{k=0}^{\ell }\ {\frac {k^{2}}{n^{2}}}\ =\ {\frac {\ell (\ell +1)(2\ell +1)}{6\,n^{2}}},

et pour $\ell =\left\lfloor x{\sqrt {n}}\right\rfloor ,\$ dès que $n\,\geq \,4x^{2},\$

\left|{\mathcal {H}}_{n,\ell }\ -\ \sum _{k=0}^{\ell }\ {\frac {k}{n}}\right|\ \simeq \ {\frac {x^{3}}{3\,{\sqrt {n}}}},\quad {\text{et}}\quad \sum _{k=0}^{\ell }\ {\frac {k}{n}}\ \simeq \ {\frac {x^{2}}{2}}.

Ainsi, pour tout nombre réel x strictement positif,

\mathbb {P} \left(D_{n}=\left\lfloor x{\sqrt {n}}\right\rfloor \right)\simeq {\frac {1}{\sqrt {n}}}\ \ x\ \exp \left(-x^{2}/2\right).

CQFD

En conséquence :

la distance "typique" entre deux points d'un arbre de taille n est de l'ordre de ${\sqrt {n}}\$ ;
$T_{n}/{\sqrt {n}}$ converge en loi vers la loi de Rayleigh. Dans le cadre du problème des anniversaires, où l'on choisit n=365, $T_{n}(\omega )\$ s'interprète comme la taille du groupe pour laquelle il devient probable qu'au moins deux membres du groupe ait la même date d'anniversaire (il faut imaginer un groupe dont l'effectif augmente progressivement) : la probabilité que dans un groupe de $\alpha {\sqrt {n}}\$ personnes, toutes les dates d'anniversaire soit différentes, peut être estimée comme suit :

\mathbb {P} \left(T_{n}>\alpha {\sqrt {n}}\right)=\mathbb {P} \left(T_{n}/{\sqrt {n}}\ >\alpha \right)\simeq \int _{\alpha }^{+\infty }x\ \exp \left(-x^{2}/2\right)dx\ =\ e^{-\alpha ^{2}/2},

et vaut donc 1/2 pour un groupe d'approximativement

{\sqrt {365\times 2\ln(2)}}\

(soit 22,5) personnes, ou bien 1/10 pour un groupe d'approximativement

{\sqrt {365\times 2\ln(10)}}\

(soit 41) personnes. Le calcul exact du premier entier tel que cette probabilité soit plus petite que 1/2 (respectivement 1/10) donne les mêmes résultats : 23 (respectivement 41).

Un contre-exemple : la marche aléatoire simple symétrique

Notons $S n$ la position de la marche aléatoire simple symétrique au temps $n$ . Abraham De Moivre a montré que $S_{n}/{\sqrt {n}}$ converge en loi vers $e^{-x^{2}/2}/{\sqrt {2\pi }}\ dx.\$ Ce faisant, Abraham De Moivre a mis à son compte 3 « premières » :

première apparition de la loi normale,
première version du théorème central limite,
découverte et première utilisation de la formule de Stirling.

Malheureusement, on ne peut pas appliquer directement le lemme de Scheffé discret pour prouver le résultat de De Moivre. En effet :

\limsup _{n}{\sqrt {n}}\ \mathbb {P} \left(S_{n}=\left\lfloor {\sqrt {n}}\ x\right\rfloor \right)=2e^{-x^{2}/2}/{\sqrt {2\pi }},

et

\liminf _{n}{\sqrt {n}}\ \mathbb {P} \left(S_{n}=\left\lfloor {\sqrt {n}}\ x\right\rfloor \right)=0.

Comme $S n$ est de même parité que $n$ la suite $\mathbb {P} \left(S_{n}=\left\lfloor {\sqrt {n}}x\right\rfloor \right)\$ prend la valeur zero pour une infinité d'indices, ceux pour lesquels $\left\lfloor {\sqrt {n}}\ x\right\rfloor$ et $n$ n'ont pas la même parité : dès que $x\neq 0,$ on peut vérifier à la main que $\left\lfloor {\sqrt {2n}}\ x\right\rfloor$ est impair pour une infinité d'indices (et pair pour une infinité d'indices également), un constat analogue pouvant être fait pour $\ \left\lfloor {\sqrt {2n+1}}\ x\right\rfloor .$ En revanche, lorsque $\left\lfloor {\sqrt {n}}\ x\right\rfloor$ et $n$ ont même parité, on a :

\mathbb {P} \left(S_{n}=\left\lfloor {\sqrt {n}}x\right\rfloor \right)\ =\ {n \choose \left(n+\left\lfloor {\sqrt {n}}x\right\rfloor \right)/2}\ 2^{-n}.

La formule de Stirling conduit alors à la limite annoncée, $2\,e^{-x^{2}/2}/{\sqrt {2\pi }}.\$ On peut cependant adapter la démonstration du lemme de Scheffé discret à ce cas particulier : il suffit de poser

Y_{n}={\frac {S_{n}-1_{n{\text{ impair}}}+2U}{\sqrt {n}}}.

Alors $Y n$ a pour densité

{\frac {\sqrt {n}}{2}}\ \mathbb {P} \left(S_{n}=1_{n{\text{ impair}}}+2\left\lfloor {\frac {{\sqrt {n}}x}{2}}\right\rfloor \right)\ \simeq \ \,e^{-x^{2}/2}/{\sqrt {2\pi }},

toujours via la formule de Stirling. Ainsi $Y n$ converge en loi vers la loi normale, en vertu du lemme de Scheffé. Mais, comme plus haut,

\left\Vert Y_{n}-{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\right\Vert \ =\ {\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).

Le théorème de de Moivre résulte alors de la convergence en loi de $Y n$ et du théorème de Slutsky.

Notes et références

formule attribuée à Euler, voir Fonction exponentielle#Par une équation différentielle, et aussi Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.
voir Fonction Gamma#Formule asymptotique de Stirling.

À voir

Bibliographie

(en) Rick Durrett, Probability : Theory and Examples, Thomson Brooks/Cole (Belmont, CA), coll. « Duxbury advanced series », 2005, 3^e éd., 497 p. (ISBN 0-534-42441-4), Section II.2.a., page 81.

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[1] rmule attribuée à Euler, voir Fonction exponentielle#Par une équation différentielle, et aussi Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.

[2] voir Fonction Gamma#Formule asymptotique de Stirling.