Fonction de Wannier

Bien que les fonctions de Wannier puissent être choisies de nombreuses manières[3], la définition la plus simple et la plus commune en physique de l'état solide est la définition originale[1], qui se présente de la manière suivante.
On choisit une bande d'un cristal parfait, et on écrit ses états de Bloch comme :

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$

où ${\displaystyle u_{\mathbf {k} }}$ est une fonction de même périodicité que le cristal. Les fonctions de Wannier sont alors définies par la relation :

${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$,

dans laquelle :

• R est un vecteur du réseau cristallin (ce qui implique qu'il existe une fonction de Wannier pour chacun de ces vecteurs).
• N est le nombre de mailles primitives dans le cristal.
• la somme sur les k comprend toutes les valeurs des k dans la zone de Brillouin (ou toute autre maille primitive du réseau réciproque) cohérentes avec les conditions périodiques aux limites du cristal. Cela inclut N valeurs différentes de k, réparties régulièrement dans la zone de Brillouin. N étant de manière usuelle très grand, la somme peut alors être écrite comme une intégrale selon la règle de remplacement :

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }={\frac {N}{\Omega }}\int _{BZ}d^{3}\mathbf {k} }$,

où BZ désigne la zone de Brillouin, de volume ${\displaystyle \Omega }$.

Les fonctions de Wannier peuvent être considérées comme une extension de l'approximation des liaisons fortes aux fonctions de Bloch[4], les fonctions d'onde dégénérées satisfaisant à la condition de Bloch s'écrivant : ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r-R} )}$, où k parcourt les N valeurs de la première zone de Brillouin compatibles avec les conditions aux limites de Born-von Karman. Les fonctions de Wannier peuvent alors être définies pour toutes les bandes que celles-ci soient ou non correctement décrites dans le cadre de l'approximation des liaisons fortes. Cependant, si la bande que l'on cherche à décrire n'est pas une bande de liaisons fortes étroite, les fonctions de Wannier correspondantes ne présentent plus de formes similaires aux fonctions d'ondes électroniques des atomes isolés.

Sur la base de la définition la plus simple exprimée ci-dessus, les propriétés suivantes ont été démontrées[5] :

• Pour tout vecteur R'  :

${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=\phi _{\mathbf {R} +\mathbf {R} '}(\mathbf {r} +\mathbf {R} ')}$.

En d'autres termes, une fonction de Wannier dépend uniquement du vecteur (r-R). En conséquence, ces fonctions sont parfois écrites sous la notation alternative :

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} -\mathbf {R} ):=\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}$.

• Les fonctions de Bloch peuvent s'écrire en termes de fonctions de Wannier de la manière suivante :

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}$,

où la sommation se fait sur chaque vecteur R du réseau cristallin.

• L'ensemble des fonctions d'onde ${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }}$ est une base orthonormée pour la bande considérée.

${\displaystyle \int _{cristal}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )^{*}\phi _{\mathbf {R'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }\int _{cristal}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )^{*}e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\psi _{\mathbf {k'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\delta _{\mathbf {k,k'} }={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {(R'-R)} }=\delta _{\mathbf {R,R'} }}$

Il est généralement considéré que la fonction ${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }}$ est localisée autour du point R, et décroît rapidement vers zéro dès que l'on s'éloigne de ce point. Cependant, prouver et quantifier cette assertion peut être difficile, et constitue toujours le sujet de recherches[2].

Les fonctions de Wannier ont été également appliquées aux potentiels quasi périodiques[6].

• Onde de Bloch
• Phase de Berry
• Angle de Hannay

• Code Wannier90 de calcul de fonctions de Wannier
• Code Wannier-transport de calcul des fonctions de Wannier pour le transport quantique

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wannier function » (voir la liste des auteurs).

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