Fonction de couplage

En mathématiques, une fonction de couplage, est une méthode permettant d’attribuer de manière unique un entier naturel à un couple d'entiers naturels.

En théorie des ensembles, on peut utiliser n'importe quelle fonction de couplage pour prouver que l'ensemble des entiers relatifs et celui des nombres rationnels ont la même cardinalité que l'ensemble des entiers naturels. En théorie de la calculabilité, la fonction de couplage de Cantor est utilisée pour coder k-uplets, ainsi une fonction de NkN peut être représentée par une fonction de NN.

Définition

Une fonction de couplage est une bijection calculable de N × N dans N.

Fonction de couplage de Cantor

Numérotation des éléments de N x N par la fonction de couplage de Cantor.

La fonction de couplage de Cantor est définie par

Le théorème de Fueter-Pólya énonce que cette fonction est, avec la fonction , la seule fonction de couplage quadratique. En revanche, savoir s'il s'agit de la seule fonction polynomiale de couplage est encore une question ouverte. On note parfois le résultat de la fonction de couplage sur les entrées et .

La fonction de Cantor peut être généralisée de la manière suivante :

avec

Construction graphique

Cette autre progression en diagonale, analogue mais différente de celle de la fonction de Cantor, fournit une autre fonction de couplage. Ici elle est utilisée pour prouver la dénombrabilité des nombres rationnels.

La fonction de couplage de Cantor est définie en parcourant par diagonales successives.

En suivant l'énumération diagonale par diagonale La fonction de couplage de Cantor vérifie :

 ;
 ;
 ;

ce qui fournit une définition récursive de la fonction (le couple (x + y, x) décroît strictement à chaque appel récursif pour l'ordre lexicographique ).

Pour tout , la diagonale d'équation contient points (de à ). Le nombre de points des diagonales qui précèdent celle du couple est donc égal à (le -ième nombre triangulaire). Par conséquent l'image du couple est donnée par :

.

Bijection réciproque

D'après la construction ci-dessus, est bijective, c'est-à-dire que pour tout , il existe un unique couple tel que .

Retrouvons-le par analyse-synthèse en cherchant tel que et .

Ces deux équations impliquent

,

donc est nécessairement l'unique entier naturel tel que

,

puis et , ce qui prouve l'injectivité.

Réciproquement, le triplet ainsi construit à partir de vérifie bien les deux équations, ce qui prouve la surjectivité.

La bijection réciproque de est donc donnée par :

avec égal à la partie entière du réel (solution de l'équation du second degré ).

Autres fonctions de couplage

Via le bon ordre canonique sur ℕ×ℕ

Bon ordre sur ℕ² et bijection ℕ²→ℕ

On rencontre fréquemment[1] la méthode suivante pour démontrer que (où est un cardinal infini : un bon ordre est défini sur dont chaque éléments possède prédécesseurs, de sorte que et sont isomorphes comme ensembles ordonnés et sont donc équipotents. Dans le cas plus simple où cette méthode conduit à une bijection .

Définissons sur la relation binaire

si

Alors est une relation de bon ordre pour laquelle chaque élément possède un nombre fini de minorants. On définit une bijection par récurrence :

  •  ;
  • est le -successeur de , c'est-à-dire .

Via une propriété arithmétique élémentaire

Une autre méthode consiste à utiliser la propriété arithmétique suivante : tout entier peut s'écrire d'une façon unique sous la forme du produit d'une puissance de 2 par un nombre impair, soit , où . L'application définie par est ainsi une bijection.

Via l'écriture d'un nombre entier en base 2

Bourbaki utilise une injection , afin de prouver l'équipotence de ces deux ensembles, dans le volume I des Éléments de mathématiques (III §6). Il s'avère que c'est une bijection.
Tout possède une unique écriture en base 2 (où sont les chiffres de l'écriture de ), c'est-à-dire : . On observe que si alors , et si alors et .
À l'entier on fait correspondre la suite définie par
Dit autrement est la suite infinie de 0 et de 1 qui commence par énumérer les chiffres de dans l'ordre inverse de leur écriture puis se poursuit par une infinité de 0, soit . L'application est une bijection := le sous-ensemble de constitué des suites presque nulles (et ).

Par ailleurs, si on définit par et pour tout .
L'application est évidemment une bijection .

En conclusion est une bijection .

Donnons un exemple : . On a  ; alors

Donc .

Inversement, partant de , on a

Donc .

L'analogue de la fonction en base 10 — notons-la  — est plus maniable puisqu'elle évite les allers-retours entre les bases 2 et 10.

Par exemple  ; inversement .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pairing function » (voir la liste des auteurs).
  1. Voir par exemple (en) Kenneth Kunen, Set theory : An Introduction to Independence Proofs, vol. 102, North-Holland, coll. « Studies in Logic and the Foundations of Mathematics », (réimpr. 1983, 1988 et 1990) (ISBN 0444868399), p. 29.

Bibliographie

Nicolas Bourbaki, Théorie des ensembles, vol. 1, Hermann, (ISBN 978-3-540-34034-8)

Voir aussi

Article connexe

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Liens externes

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