Fonction exponentielle p-adique

La fonction exponentielle usuelle sur ${\displaystyle \mathbb {C} }$ est définie par la série entière

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

De manière tout à fait analogue, on définit la fonction exponentielle sur ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$, la complétion de la clôture algébrique de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, par

${\displaystyle \exp _{p}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Cependant, contrairement à ${\displaystyle \exp }$ qui converge sur tout ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \exp _{p}}$ ne converge que sur le disque ${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}.}$

En effet, une série p-adique converge si et seulement si le terme général tend vers 0, et puisque ${\displaystyle n!}$ tend à rendre la norme p-adique grande (voir la formule de Legendre), il est nécessaire de contrôler la valuation de z.

La série entière

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},}$

converge pour x dans ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ satisfaisant ${\displaystyle |x|_{p}<1}$, et définit ainsi la fonction logarithmique p-adique ${\displaystyle \log _{p}(z)}$ pour ${\displaystyle |z-1|_{p}<1}$, vérifiant ${\displaystyle \log _{p}(zz')=\log _{p}(z)+\log _{p}(z')}$. La fonction ${\displaystyle \log _{p}}$ peut être étendue à l'ensemble des éléments non nuls de ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ en imposant ${\displaystyle \log _{p}(p)=0}$. Plus précisément, chaque élément ${\displaystyle w}$ de ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}^{*}}$ peut s'écrire ${\displaystyle w=p^{r}\cdot \zeta \cdot z}$ avec r un nombre rationnel, ζ une racine de l'unité, et |z − 1| p < 1[1], auquel cas ${\displaystyle \log _{p}(w)=\log _{p}(z)}$. Ce prolongement est parfois appelé logarithme d'Iwasawa pour souligner le choix du ${\displaystyle \log _{p}(p)=0}$. En fait, il existe un prolongement du logarithme de ${\displaystyle |z-1|_{p}<1}$ à tout ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}^{*}}$ pour chaque choix de ${\displaystyle \log _{p}(p)}$ dans ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$[2].

Si les exponentielles p-adique de z et w sont définies, alors celle de leur somme l'est aussi et on a : ${\displaystyle \exp _{p}(z+z')=\exp _{p}(z)\cdot \exp _{p}(z')}$.

Pour z dans le domaine de définition de ${\displaystyle \exp _{p}}$, on ${\displaystyle \exp _{p}(\log _{p}(1+z))=1+z}$ et ${\displaystyle \log _{p}(\exp _{p}(z))=z}$.

Les racines du logarithme d'Iwasawa ${\displaystyle \log _{p}(z)}$ sont exactement les éléments de ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ de la forme p^r·ζ où r est un nombre rationnel et ζ une racine de l'unité[3].

Notons qu'il n'existe pas d'analogue p-adique de l'identité d'Euler ${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$. C'est un corollaire du théorème de Strassmann (en).

Une dernière différence fondamentale avec le cas complexe est que le domaine de convergence de ${\displaystyle \exp _{p}}$ est bien plus petit que celui de ${\displaystyle \log _{p}}$. Une fonction exponentielle modifiée — la fonction exponentielle d'Artin–Hasse (en) — converge sur ${\displaystyle |z|_{p}<1}$.