Forme modulaire de Hilbert

Soit F un corps totalement réel de degré m sur le corps des rationnels. Soit ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}}$ les plongements réels de F. On définit ainsi une application

${\displaystyle GL_{2}(F)\to GL_{2}(\mathbb {R} )^{m}.}$

Soit ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ l'anneau des entiers de F. Le groupe ${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$ est appelé le groupe modulaire de Hilbert plein. Pour tout élément ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{m})\in {\mathcal {H}}^{m}}$, on dispose d'une action de groupe sur ${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$ définie par ${\displaystyle \gamma \cdot z=(\sigma _{1}(\gamma )z_{1},\ldots ,\sigma _{m}(\gamma )z_{m})}$.

Pour

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL_{2}(\mathbb {R} ),}$

on définit:

${\displaystyle j(g,z)=\det(g)^{-1/2}(cz+d)}$

Une forme modulaire de Hilbert de poids ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$ est une fonction analytique sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ telle que pour tout ${\displaystyle \gamma \in GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$

${\displaystyle f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}$

Contrairement au cas de forme modulaire, aucune condition supplémentaire n'est requise, en raison du principe de Koecher.^{[Information douteuse]}

Ces formes modulaires, pour des corps quadratiques réels, ont été traitées pour la première fois en 1901 dans l'Habilitationssschrift d'Otto Blumenthal (université de Göttingen). Il y mentionne que David Hilbert les avait envisagées initialement dans un travail de 1893-94, resté inédit. Le travail de Blumenthal a été publié en 1903. Pour cette raison, les formes modulaires de Hilbert sont souvent appelées formes modulaires de Hilbert-Blumenthal.

La théorie est restée en retrait pendant quelques décennies ; Erich Hecke y a fait appel dans ses premiers travaux, mais un intérêt majeur pour les formes modulaires de Hilbert attendait le développement de la théorie des variétés complexes.

• Forme modulaire de Siegel
• Surface modulaire de Hilbert

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hilbert modular form » (voir la liste des auteurs).

• Jan H. Bruinier : Formes modulaires de Hilbert et leurs applications.
• Paul B. Garrett : Formes modulaires holomorphes de Hilbert . Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, Californie, 1990. (ISBN 0-534-10344-8)
• Eberhard Freitag : Formes Modulaires Hilbert . Springer Verlag. (ISBN 0-387-50586-5)

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